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Uma Análise do Conceito de Racionalidade à Luz de Putnam

Uma Análise do Conceito de Racionalidade à Luz de Putnam

Em seu Reason, Truth, History, Putnam sugere que a dicotomia: “… ou cânones imutáveis e ahistóricos de racionalidade ou relativismo cultural é uma dicotomia […] ultrapassada”. Ao fazer isso, ele está pondo a prova um debate secular na filosofia, tentando descontruí-lo, de maneira quase derridiana. Este é o debate entre os relativistas culturais e os racionalistas universais, que acreditam que a razão seja uniforme no espaço-tempo.

Uma das características que separa Putnam dentre seus contemporâneos é sua afirmação de que a separação tradicional entre fato e valor não é total como muitos defendem. Como a racionalidade é definida em termos de objetivos, e meios para atingí-los, e os bons objetivos são determinados por valores do que é bom e ruim, as dicotomias racionalidade universal/relativismo, e fato/valor, estarão bastante relacionadas.

A razão pela qual ambas essas dicotomias podem surgir diz respeito a possibilidade de indeterminações. Isto é, se tudo no mundo fosse determinado, e nunca houvesse um grau de indeterminação entre algo e outra coisa, dificilmente estes pontos de contraste teriam surgido na história. Tudo seria, por assim dizer, preto no branco. Mas este não é o caso, existem vários graus de indeterminação na natureza, aqui, nos concentraremos na indeteminação intencional. Isto é, a indeteminação que existe entre um X que é a respeito de Y e o Y a respeito do qual ele é. Vários objetos do mundo são desse tipo, possuidores de intencionalidade, em maior ou menor grau. A palavra “John” quando escrita em uma folha por exemplo pode ser a respeito de John Lennon, ou de John Travolta, ou do apóstolo João, entre outras pessoas. Isto é, a capacidade de constrição que o termo que refere possui deixa espaço para várias interpretações possíveis. Isso sempre é o caso quando estamos tratando de uma linguagem formal, segundo o teorema de Lowenheim-Skölem, que diz que para qualquer formalização que se adequa a um modelo, existem infinitos modelos de cardinalidades superiores à este que também são modelos da mesma formalização. Ou seja, mesmo nos domínios mais abstratos do conhecimento humano, a indeterminação permanece. Não apenas para nomes numa folha (ou numa pedra), ou linguagens formais, vale a indeterminação. Também o vocabulário mentalista padece dessa fraqueza, por assim dizer, de não conseguir refererir unicamente a um único objeto jamais (Dennett 1980 Putnam 1981). Possuímos mundos nocionais que poderiam ser reflexo de infinitos mundos diferentes atuando sobre nosso sistema perceptivo, e não temos como descobrir em qual desses mundos estamos. Em termos Kantianos, existem infinitos mundos numenais que atendem as nossas representações fenomenais.

Não é de se espantar, se a indeterminação vale entre quaisquer duas linguagens, que uma questão que desde logo preocupou os filósofos da ciência é se o mesmo ocorreria com as teorias. Será que existem infinitos mundos compatíveis com qualquer teoria científica? Se sim, como sustentar um conceito de que a ciência nos diz a verdade sobre mundo, ou que ela é racional? Ao longo do tempo, algumas tentativas foram feitas na literatura para escapar do inescapável, e criar uma formalização filosófica de teorias que não possibilitasse o mesmo grau de indeterminação que Quine nos mostrou ter a linguagem natural (1960), Lowenheim-Skölem as linguagens formais e Dennett (1978) o vocabulário mentalista. A mais famosa é a tentativa de Carnap1, usando as sentenças de Ramsey, que tentou modelar a modificação de termos teóricos entre teorias subsequentes de maneira análoga a relação entre sistemas formais e seus modelos. O problema é que mesmo uma sequência de teorias com termos bem definidos ainda deixava bastante espaço para varias realizações possíveis daquela teoria. O problema é bem sumarizado em Lewis “How to Define Theoretical Terms” (1971) seja “T” uma teoria científica:

“There remains the case in which T is multiply realized. In this case, the Carnap sentence tells us that the T-terms name the components of some realization or other. But it does not tell us which; and there seems to be no nonarbitrary way to choose one of the realizations. So either the T-terms do not name anything, or they name the components of an arbitrarily chosen one of the realizations of T, Either of these alternatives concedes too much to the instrumentalist view of a theory as a mere formal abacus. Neither does justice to our naive impression that we understand the theoretical terms of a true theory, and without making any arbitrary choice among realizations. We should not accept Carnap’s treatment in this case if we can help it. Can we?

We might say instead that the theoretical terms of multiply realized theories do not name anything. If multiple realization is a defect that theorists can reasonably hope to avoid, then we can afford to treat multiply realized theories as failures: call them false, and call their theoretical terms denotationless. But if multiple realization is inevitable, we cannot afford to disdain multiply realized theories. We can have denotations arbitrarily chosen, or no denotations at all.

A uniquely realized theory is, other things being equal, certainly more satisfactory than a multiply realized theory. We should insist on unique realization as a standard of correctness unless it is a standard too high to be met. Is there any reason to think that we must settle for multiply realized theories? I know of nothing in the way scientists propose theories which suggests that they do not hope for unique realization. And I know of no good reason why they should not hope for unique realization.”

Essa esperança de Lewis ressoa nas intuições de muitos cientistas e de alguns filósofos, mas exemplos como os Gettier problems, que demonstram que sempre há uma nova forma de destruir o conceito de justificação, vão contra essa intuição de que há uma explicação única. Mais forte do que os Gettier problems são os argumentos de Putnam, Rorty, Kuhn, Foucault e outros a favor do papel forte da determinação parcialmente histórica de qual dentre as interpretações possíveis é a escolhida. Isso depende, de acordo com esses autores qual é a época na qual se está pensando sobre a realização daquela teoria.

Viemos examinando até aqui como uma única teoria pode representar vários mundos, sem fazer distinções entre eles. Para nossos propósitos entretanto, a observação contrária é mais interessante, um mesmo mundo pode ser modelado por diversas teorias, ou seja, existe indeterminação na “ida” e na “volta” do processo. Essa indeterminação de várias teorias para um único mundo é o que gera o problema da racionalidade discutido por Putnam. ¿Ora, como terei uma concepção deteminada do que é racional se existem várias maneiras de agir que são condizentes com o mesmo mundo? Várias teorias da ação racional são igualmente razoáveis como formas de conviver com o mundo, assim sendo, não faz sentido falar numa única racionalidade, que perpassa culturas e civilizações e que é a única que se adequa ao mundo.

Alguns filósofos, mas não muitos, tranformaram o conhecimento desse fato num oba-oba, ou seja, supuseram que, uma vez que existem várias maneiras de se ser racional no mundo, então vale-tudo, qualquer coisa está bom, ou tudo é relativo a uma pessoa ou a outra, suas concepções, suas crenças e seus valores particulares. Mas não é bem assim. Os filósofos mais sérios (que em seu livro curiosamente Putnam chama de mais “inteligentes”) não se submetiveram a uma visão tão ingênua dessa complexa problemática. Encontraram versões interessantes (como as epistemes de Foulcault, as indeterminações de tradução semânticas de Kuhn, as noções de época de Rorty etc…) de casos nos quais, com efeito, um grupo justifica uma racionalidade diferente da de outro grupo, que está em algum contexto diferente (social, histórico, semântico, científico). Ou seja, para eles a racionalidade não é mais uma noção que está fixada. Mas tampouco está a deriva, deixada a seu bel-prazer e sem direção. Temos aqui o nascimento da concepção que Putnam está defendo, a de uma racionalidade ancorada. Mas ancorada com uma âncora de cabo bastante longo e flexível. Ou seja, nem todo curso de ação, ou curso de raciocínio poderá ser considerado racional. Existirão constrições no espaço lógico do que é admissível como racional, constrições que, na nossa metáfora marinha, podem ser pensadas como a elasticidade do cabo, e seu comprimento. Existem lugares que simplesmente não podem ser alcançados pela racionalidade, segundo Putnam, por mais que ela se estique, enrosque e dê piruetas no ar.

Cabe então analisarmos aqui critérios de constrição do que é permissivelmente considerável como racionalidade, para vermos se de fato é o caso que podem haver racionalidades não totalmente maleáveis, e ao mesmo tempo não unas. Precisamos de critérios de constrição que não sejam critérios que deixem apenas um elemento final. Um desses critérios é a forma como Wittgenstein pensa a idéia de “sentido” de um termo. O sentido, para Wittgenstein, é deteminado pelo uso que se faz de um termo, por uma miríade de jogos de linguagem que se interpolam e determinam um espaço lógico de possibilidades que é o sentido daquele termo. O termo círculo significa as ações que ele causa nas pessoas. Pois bem, temos aqui um grau de restrição. Virão muitos outros. Um outro grau de restrição que se adequa a concepção de racionalidade é a restrição evolutiva, e este talvez tenha sido tomado como mais importante pelos filósofos da segunda metade do século XX. A evolução constringe o espaço acessível de mundos nocionais, na medida em que nos obriga a habitar um mundo nocional que nos permita sobreviver e ter filhos. Ou seja, nosso design, arquitetado cuidadosamente pela mãe natureza (cega, surda, deprivada de emoções etc…) é tal que nos faz só poder habitar uma certa quantidade de mundos nocionais, sob pena de morte, literalmente! A racionalidade humana é produto da evolução genética que configura nossas mentes, e também da evolução memética, que modifica, com algumas restrições, nossa cultura, nossas idéias etc…. Ambos estes processos darwinianos geram fortes constrições (sobrevivência do mais apto) no que podemos pensar, e na nossa visão do que é racional, e do que é bom. Nossa racionalidade é constrita por uma séries de outros sub produtos desses fatores evolutivos: Fatores deonticos, fatores emocionais, bias cognitivos (erros sistemáticos de cognição), fatores econômicos etc… Putnam enfatiza essa idéia, e insere também um inovativo e diferenciado tipo de fator para adentrar o grupo. Os valores morais.

Putnam pontua por exemplo que numa visão de mundo na qual conectamos fato e valor, torna-se verdadeiro dizer que “Os nazistas eram irracionais” na medida em que nossos critérios de racionalidade entraram numa interação promíscua com nossos valores. O ponto dele é que, além de todos os demais fatores (dos quais, é fato, ele apenas destaca o fator evolutivo) devemos também utilizar nossos valores morais como forma de constrição do que pode ser considerado razoável. Note que esse argumento não necessita de prova. Ele está sugerindo que, na falta de outros critérios para racionalidade, uma boa forma de constringirmos o espaço do que consideramos racional, isto é, de dimnuir o cabo que ancora a racionalidade, é inserir os nossos valores como critério legítimo de avaliação do que é racional. Evidente que não se segue disso que ele não tenha outros argumentos em favor da união entre fato e valor, mas estes não concernem o presente trabalho.

Então ao mesmo tempo que Putnam aceita que não estamos mais diante de uma noção fundacionista de racionalidade, ele oferece caminhos para evitar um relativismo total. Não se coloca dessa maneira de nenhum dos lados dessa dicotomia que por tanto tempo populou as mentes filosóficas. Não é necessário ter uma visão convergente de racionalidade, ou acerca da verdade, para que não se tenha uma visão de deriva divergente, em suma esse é o ponto de Putnam. É possível derivar numa raia única, ou num espaço circunscrito, contanto que haja coisas (como nossos valores e a evolução) que constrinjam nosso espaço possível de racionalidade.

Putnam encerra seu capítulo “Two Conceptions of Rationality” com as palavras:

“I will not discuss here the expectation aroused in some by Chomskian Linguistics that cognitive psychology will discover algorithms which define rationality. I myself think that this is an intellectual fashion which will be disappointed as the logical positivist hope for a symbolic inductive logic was disappointed.

All this suggests that part of the problem with present day philosophy is a scientism inherited from the nineteenth century – a problem that affects more that one intellectual field, I do not deny that logic is important. I do tend to think that they are rather peripheral to philosophy, and that as long as we are too much in the grip of formalization we can expect this kind of swinging back and forth between the two sorts of scientism I described. Both sorts of scientism are attempts to evade the issue of giving a sane and human description of the scope of reason. “

A revelia dos desejos dos tais psico-linguistas Chomskianos, a hipótese de Putnam tem se mostrado correta, na medida em que não encontramos algorítmos exatos que definem a racionalidade humana. Encontramos, com efeito, uma gramática universal que subjaz as linguagens humanas, encontramos também, como o psicólogo e nobel de Economia Daniel Kahneman (2002) mostrou, uma série de erros sistemáticos (cognitive bias) que estamos propensos a cometer, como se fossem “falhas” do nosso algoritmo com relação a nossa concepção de uma racionalidade ideal. Ou seja, existe desacordo entre o que consideramos racional, quando perguntados, e o que sabemos sobre como funciona a cognição humana, esses erros são chamados de bias cognitivos, ou viéses cognitivos. Segue que não encontramos um único e paradigmático conceito universal de racionalidade, e também que o lugar para procurar isso não seria na mente humana. A invenção durante o racionalismo do Homo Economicus, e do Homo Racionalis havia criado nas pessoas uma ilusão de que pudesse ser o caso que, se a racionalidade enquanto tal existe, o lugar para encontrá-la seria a mente humana. É interessante que, apesar de Putnam colocar nas mãos de Chomsky uma das últimas possíveis chaves para encontrar a racionalidade dentro de nós, haja sido justamente a ciência que surgiu a partir de Chomsky (ciência cognitiva) que nos deu a garantia, de uma vez por todas, que o Homo Economicus e o Homo Racionalis são apenas uma fantasia de época. 2

Mas haveria uma definição de racionalidade pura, independente dos humanos e seus algorítmos mentais? Uma tentativa interessante de defender a racionalidade vem de Yudkowsky (2007):

Optimization Process:

A physical system which hits small tagets in large search spaces to produce coherent real-world effects.

Notamos aqui em primeiro lugar um enfraquecimento da concepção de racionalidade para uma concepção de racionalide condicional. “O que é racional?” deixa de ser uma pergunta que faz sentido, e o que faz sentido passa a ser perguntar “O que é racional dado que meu objetivo é X”. Mas mesmo uma concepção como essa, enfraquecida, pode sofrer modificações ao longo da história, das mudanças das ações humanas, dos nossos objetivos, etc…

Talvez possamos dividir as concepções filosóficas a respeito da racionalidade entre aquelas que sugerem que racionalidade esteja acima do triângulo

 

Métodos Teorias e Objetivos
As flechas indicam influências e constrições ao longo do desenvolvimento da ciência.


e aqueles que acreditam que a racionalidade está subscrita a um desses aspectos da ciência. Nagel, por exemplo, almeja uma racionalidade acima e além dos vértices do triângulo, a concepção de Yudkowsky é enfraquecida justamente para poder se manter acima do triângulo, como um árbitro, definindo o que é ou não racional. Putnam está no outro time, ele insere a racionalidade no triângulo. Não apenas emaranhando-a com os valores, mas também compreendendo que existe numa medida uma concepção particular de racionalidade subjacente nos métodos e possivelmente nas teorias. A racionalidade, quando não está absolutizada, acima do triângulo, ela está dentro dele, e assim como ele se define por suas inter-relações, e pelas constrições que os elementos de um vértice exercem sobre os elementos do outro, se é assim, ela não pode variar indefinidamente, ela funciona como o cidadão da democracia, livre, mas com deveres.

Referências:

Dennett, D. 1978. Brainstorms: Philosophical Essays on Mind and Psychology. Cambridge: Bradford Books/MIT Press

Dennett, Daniel. 1980, Beyond Belief IN A. Woodfield, ed., Thought and Object, Oxford Univ. Press, pp. 1-95.

Gray, John.2002. Straw Dogs: Thoughts on Humans and Other Animals

David Lewis, 1971. How to define theoretical terms IN Philosophical Papers Vol I

Putnam, H. 1981. Reason, Truth, and History. Cambridge: Cambridge University Press, 1981.

Rorty, Richard.1979. Philosophy and the mirror of nature / Richard Rorty Princeton University Press, Princeton :

T. Gilovich, D. Griffin, and Daniel Kahneman [eds.]. 2002 Heuristics and Biases: The Psychology of Intuitive Judgment New York: Cambridge University Press,

Wittgenstein, Ludwig (1953) Philosophical Investigations (Oxford: Blackwell)

Yudkowsky, E.2006. World’s Most Important Math Problem IN Singularity Conference 2006 Technology-Conferences-and-Events.

1Philosophical Foundations of Physics (New York: Basic Books, 1966),

2O filósofo literário John Gray, em seu Cachorros de Palha, sugere (anedotalmente) uma das razões para a nossa visão de verdade una. Adaptarei seus comentários para criar uma explicação anedotal da persistência de nossa visão do Homo Economicus. Os gregos possuiam diversos Deuses, com diferentes traços de personalidades, fraquezas, virtudes e inclinações. No entanto, com a ascenção do Monoteísmo, surgiu também a noção de uma verdade única, de um único caminho, afinal, o monoteísmo vem de pensadores que diziam coisas como “Eu sou o caminho, a luz e a verdade, ninguém vai ao pai senão através de mim”. Claramente uma concepção universalista da verdade. Junte-se a isso que somos todos filhos de Deus, segundo essa cosmogonia. E Jesus em particular é parte de Deus. A relação entre Homem e Deus é de semelhança (a de Mulher parece indeterminada….). Se Deus é único, e nós somos à sua imagem e semelhança, então nossa racionalidade também deve ser una, para encontrar a única verdade que emana do ser divino. Cria-se então uma visão de homem que pressupõe essa racionalidade pura no homem, e, por estar anexada a uma visão do divino que permanece até hoje em umas 4 bilhões de pessoas, a idéia sobrevive fortemente em circuito não-acadêmico. O Homo economicus está morto, mas sua sombra permanecerá por mais mil anos.

Física Quântica e Determinismo

Acredito que é mais que estabelecido que num sentido não absoluto a teoria quântica é deterministica, uma vez que ela fornece uma descrição quase completa dos estados finais dada uma descrição quase completa dos estados iniciais. Isto é, ela nos da os estados finais com uma precisão em torno de 98%, logo os eventos futuros estariam 98% deles determinados pelos passados, me parece determinismo suficiente para que o senso comum chame isso de determinismo.

No entanto os eventos futuros não ficam absolutamente determinados, ou seja, não há um determinismo estrito. Fica ainda em aberta a questão de se é possível à teoria quântica ser compatível ou não com um determinismo estrito, ou seja, se tudo o que a quântica diz é valido, ainda é possível que o mundo seja determinado absolutamente? É possível uma teoria que seja uma extensão da teoria quântica, diga tudo o que ela diz sobre o mundo e ainda mais, e que seja plenamente deterministica? Que na física quântica não exista determinismo estrito não é disputável, mas disto não se deve apressadamente concluir que ela não pode ser estendida a uma teoria deterministica. Por exemplo, na teoria dos conjuntos ZFC não há nenhuma prova da hipótese do continuo, mas isso não significa necessariamente que aquela teoria nega esta hipótese. Na ausência de provas de uma sentença em uma teoria ela pode ser tanto falsa sob a teoria quanto ser somente indecidível. No caso da hipótese do continuo se mostrou que ela era indecidível, pois tanto ela quanto a sua negação eram consistentes com ZFC.

Uma teoria é determinista estritamente, se e somente se uma vez que se saiba por completo os estados iniciais de um sistema ela fornece também uma descrição completa dos estados finais. As teorias clássicas da física alegavam estar de posse das equações que determinavam os eventos no tempo e de um acesso de precisão absoluta aos dados, com isso implicavam o determinismo. Com as revoluções cientificas da física moderna se mostrou que esse acesso absoluto aos dados era impossível e com isso o determinismo foi posto em cheque. De fato a derrocada da visão clássica do mundo abalou os alicerces do determinismo, no entanto, ao contrario do que comumente se acredita, o modelo quântico do mundo de modo algum nega o determinismo. O modelo quântico, ao contrario do clássico, não implica o determinismo, por isso ele é um choque ao determinismo e alguns vêem isso como uma impossibilidade de que o mundo seja determinado. Mas de modo algum, o determinismo é um enunciado condicional: se a teoria possui as condições iniciais completas tem de fornecer as condições finais completas. O principio da incerteza garante ser impossível possuir a descrição completa dos estados iniciais, logo se não possuirmos a descrição completa dos estados finais não é por a teoria ser antideterminista, mas sim por ela mostrar que a primeira parte do se …. então…. é impossível. Isso se torna claro se nos voltarmos para enunciados puramente lógicos: a sentença se P então Q só é falseada se tivermos P e não tivermos Q, na física clássica tínhamos P e Q(estados iniciais e finais), na quântica não temos nem P e nem Q, mas isso não refuta a sentença. O que de fato ocorre é que a clássica implicava o determinismo pois se P e Q são verdadeiros P -> Q é sempre verdadeiro, no entanto se P é falso, P -> Q é vacuamente verdadeiro e sómente com P verdadeiro podemos checar se a setença pode ser falsa ou verdadeira. Isso significa que enquanto a teoria clássica era consistente somente com o determinismo e não com a sua negação (e, portanto implicava o determinismo) a teoria quântica é consistente com o determinismo e com a negação dele, o determinismo é indecidível sob a teoria quântica, assim como a hipótese do continuo é indecidível sob ZFC.

Uma prova da consistência da quântica com o determinismo é que as expressões matemáticas da força na teoria quântica tomadas isoladamente podem receber diferentes interpretações e varias delas são deterministicas, tal como a interpretação dos muitos mundos e a de Bohm. A desigualdade de Bell é muitas vezes usada como argumento contra o determinismo na quântica, no entanto a conseqüência deste teorema é que qualquer teoria que queira chegar aos mesmos resultados que a quântica deve abandonar ao menos um desses dois elementos: localidade ou determinismo. A interpretação de Compenhagem abandona os dois, interpretações como a de Bohm abandonam só a localidade.

Um dos modos pelo qual se mostra que um enunciado é indecidível em um dado sistema axiomático é construindo um modelo, uma estrutura matemática, que atenda aos axiomas do sistema, mas em que aquele enunciado é falso e outro modelo em que o enunciado é verdadeiro. Do formalismo matemático da mecânica quântica existem interpretações (modelos) tanto deterministas quanto não deterministas, logo ele não se pronuncia a respeito.

PS: Esse post em parte é uma resposta a alguns discussões sucitadas no post sobre Determisnimo e previsibilidade

Analise de Teorias expositivas sobre o Determinismo e Previsibilidade

por Priscila Gutierres

1. Resumo

Nesse texto discutiremos algumas das visões que seriam possíveis de ser adotadas e levariam a uma implicação determinista e os erros em que recaem.

2. Noções Preliminares

2.1 Computabilidade

Uma função é computável se existe ao menos uma regra explícita e definida segundo a qual, a seguindo, podemos em princípio calcular o seu valor para um número finito de argumentos. Uma definição rigorosa pode ser encontrada na Referência (1), onde é definida a noção de uma função computável em uma máquina de Turing.

2.2 Determinismo

A partir do dicionário de Filosofia de Cambridge, encontramos o seguinte verbete para determinismo.

“Contemporary determinists do not believe that Newtonian physics is the supreme theory. Some do not even believe that all theories will someday be integrated into a unified theory. They do believe that, for each event, no matter how precisely described, there is some theory or system of laws such that the occurrence of that event under that description is derivable from those laws together with information about the prior state of the system.Some determinists formulate the doctrine somewhat differently: (a) every event has a sufficient cause; (b) at any given time, given the past, only one future is possible; (c) given knowledge of all antecedent conditions and all laws of nature, an agent could predict at any given time the precise subsequent history of the universe.”

2.3 Problemas P e NP

“The P versus NP problem is to determine whether every language accepted by some nondeterministic algorithm in polynomial time is also accepted by some (deterministic) algorithm in polynomial time. To define the problem precisely it is necessary to give a formal model of a computer. The standard computer model in computability theory is the Turing machine, introduced by Alan Turing in 1936 [Tur36]. Although the model was introduced before physical computers were built, it nevertheless continues to be accepted as the proper computer model for the purpose of defining the notion of computable function.”

Ver referência (1)

2.4 Mecânica Quântica

” Quantum mechanics is a set of principles underlying the most fundamental known description of all physical systems at the submicroscopic scale (at the atomic level). Notable among these principles are both a dual wave-like and particle-like behavior of matter and radiation, and prediction of probabilities in situations where classical physics predicts certainties.”

Ver referência (2)

3. Abordagens Discutidas

Necessariamente o determinismo implica a presvisibilidade de um sistema?

3.1. Previsibilidade x Imprevisibilidade

Nesse texto tentarei destituir qualquer erro conceitual a respeito de determinismo que possivelmente poderia levar a sua não-aceitação, e as consequencias da Teoria do Caos à definição dada de Determinismo.

3.1.1. Concepção Laplaceana:

Citação de Laplace:

“ We may regard the present state of the universe as the effect of its past and the cause of its future. An intellect which at a certain moment would know all forces that set nature in motion, and all positions of all items of which nature is composed, if this intellect were also vast enough to submit these data to analysis, it would embrace in a single formula the movements of the greatest bodies of the universe and those of the tiniest atom; for such an intellect nothing would be uncertain and the future just like the past would be present before its eyes. “

Com base nisso, podemos dar a seguinte definição para solucionar o problema acima:

Definição:
Seja um sistema S cuja solução seja dada pelas condições iniciais do sistema S, para t > 0. O sistema S é necessariamente linear e o sistema de suas equações é possível e determinado.

Supondo que o sistema represente uma família de vetores em um Espaço Vetorial V, sabemos que que dadas as condições iniciais do sistema, existe apenas um vetor v pertencente a V que satisfaz as condições iniciais do sistema.

A linearidade do sistema é uma condição necessária para que haja previsibilidade, e mais a diante veremos o porquê.

3.1.2. Teoria do Caos

3.1.2.1 A teoria do caos descreve sistemas dinâmicos, muito sensíveis às condições iniciais do sistema. Como resultado, ele apresenta um nível de crescimento exponencial de perturbações em relação as condições iniciais o que faz com que os sistemas caóticos se pareçam com sistemas randômicos. Vejamos porquê.

A equação logística é um simples exemplo de um sistema dinâmico. Matematicamente,

X_(t+1) = k X_t (1 – X_t), é a equação logística.

onde t pertence a N, X_o a condição inicial do sistema dada, k é um parâmetro dado e X_t é a condição do sistema anterior a X_(t+1).

Consideremos a evolução do sistemas ao longo de t= 1, … ,n:

X_1 = k X_o (1 – X_o)
X_2 = k (k X_o (1 – X_o)) (1 – (k X_0 (1 – X_o)))

…..

Observamos que com a evolução de t, a expressão fica muito grande, assim como a potência de k.

Três regimes são possíveis a dependem do valor que se atribua ao parâmetro k:

a) Ponto fixo

Um sistema está em regime de ponto fixo se, e somente se:
Se t -> mais infinito e lim t-> mais infinito X_t = L, L pertencente a R,para uma certa faixa de valores pequenos de k.

Ou seja, o valor de X(t) tenderá para um limite finito e permanescerá assim nas iterações ulteriores.

b) Bifurcação
Para k maiores, também em uma certa faixa, em iterações sucessivas temos uma oscilação entre 2 valores. Se o k for um pouco maior que isso, temos oscilação em 8, 16, .. , generalizando em 2^(i+3), i pertencente a N valores. É o regime das sucessivas bifurcações e duplicações de período.

c) Caos

Para valores extremamente grandes de k será completamente impossível prever o comportamento do sistema!
Tomemos k extremamente grande. Tomemos um sistema X_t e outro X_T’, com valores inicias respectivamente iguais a X_o e X_o’ e k iguais.Para um dado valor inicial X_o, se tomarmos X_o’ com apenas o último digito de precisão diferente, não poderemos inferir X_t a partir de X_t’. Por isso, dizemos que sistemas dinâmicos são muito sensíveis as condições iniciais do sistema.
No regime do caos, a imprevisibilidade é um dado de princípio para qualquer que seja o grau finito das condições iniciais.

1.2.2 Complexidade

Intuitivamente, podemos dizer a complexidade varia de acordo com a iteração das variáveis de um sistema, isto é, está diretamente ligada a ela. Ou seja, podemos dizer que quanto maior a flutuação das variáveis do sistema e o o grau de interconexão entre elas, o sistema em estudo será mais complexo. Em um sistema não linear a complexidade tende a crescer exponencialmente, dificultando qualquer tipo de previsão . Por isso a necessidade de linearidade para que necessariamente umsistema possa ser previsível em qualquer ponto de seu domínio.
Disto concluimos que a aparente aleatoriedade de um sistema dinâmico em regime de caos se dá pela imprevisibilidade do sistema, ainda que esta [a aleatoriedade] não exista.

3.2. Determinismo

Adotando a seguinte definição de determinismo (da Wikipédia):

Determinismo é a proposição filosófica de que todo evento, incluindo a consciência e comportamento humana, decisão ou ato, é casualmente determinada por uma corrente interminável de ocorrências anteriores. Descuidando-se das possíveis armadilhas semânticas que a definição acima pode ter, a partir do que foi desenvolvido anteriormente podemos concluir algumas coisas. Ora, na definição anterior excluímos a necessidade de previsibilidade do sistema, que faz parte do conceito intuitivo.

Se analisarmos 1.1 não é difícil encontrar um contra-exemplo, podemos citar mesmo casos particulares da Mecânica Quântica. Mas, já excluído o caráter de previsibilidade da condição de existência,em 1.2 encontramos um modelo que se adequa perfeitamente ao determinismo do modo como foi postulado.

Afirmada a consistência da Teoria do Caos no nosso mundo físico, é plausível conceber o determinismo com todos os fenômenos existentes e reduzíveis a ele. Portanto, não mais seria possível utilizar exemplos da Mecânica Quântica ou de qualquer outra área que a princípio parece ser um paradoxo ao determinismo.

4. A Crítica

A crítica será direcionada ao segundo texto apresentado (abordagem utilizando sistemas dinâmicos), sabendo-se que a crítica a concepção laplaceana pode ser perfeitamente tirada como um corolário do que segue abaixo.
O texto tentou demonstrar que a realidade é estritamente determinada. Porém, a primeira coisa a salientar a respeito do desenvolvimento, é a natureza dos problemas estudados. Podemos em primeira instância classificar os problemas em três tipos: os problemas possíveis de serem resolvidos analiticamente ou numericamente e os não-solúveis. Na primeira categoria, temos os problemas a partir da qual podemos encontrar uma solução analítica e a partir dai ter uma idéia razoável de como ele irá se comportar. Já o segundo tipo de problema, precisamos calcular numericamente, frequentemente usando técnicas de integração numérica, a solução do problema para um dado número finito de argumentos. O terceiro problema se encaixa nos problemas indecidíveis, como por exemplo o problema da ‘halting machine’. Assim, conclui-se que há uma solução analítica e solúvel em tempo polinomial para todos os sistemas físicos.

Mais que isso, analisando o contexto do texto e supondo que P=NP, condição necessária para a validade da sugestão que ele faz,seria quase impraticável a análise experimental de um sistema dinâmico uma vez que supondo a variação do sistema se de em um intervalo de tempo dt e as condições iniciais variando em intervalos infinitesimais também, teríamos uma imprecisão muito grande o que faria com que uma análise experimental estivesse fadada ao fracasso. Uma sugestão para esse problema específico seria parametrizar o sistema em uma máquina de turing em função de outros parâmetros que não seja o tempo, que é exatamente o parâmetro utilizado para caracterizar um sistema dinâmico. Por exemplo, supondo S¹ um sistema que descreve o sistema em um intervalo dt real teríamos um número infinito de sucessivas interações, o que impossibilitaria uma análise experimental consistente e precisa.

Do que foi exposto até agora, podemos dizer que as duas visões apresentadas no textos estão erradas. A primeira, porque assume que o mundo físico é determinado por equações lineares, e assim computáveis. A segunda, porque assume disfarçadamente a mesma postura, mas desta vez postulando que P=NP.

Tangenciando a questão filosófica de determinismo, podemos afirmar que, de acordo com o verbete extraído do dicionário filosófico de Cambridge, a noção dada no texto assume a visão do item (b) e portanto está correta.

Já em relação à Mecânica Quântica, tudo o que temos do sistema é uma distribuição de probabilidades do estado do mesmo, o que a princípio não elimina a possibilidade desse ter um estado determinado.

5. Conclusão

O problema está em aberto. É impossível através da abordagem adotada anteriormente provar a determinação do mundo físico. Talvez alguma outra abordagem dê conta de encontrar argumentos a favor, ou quem sabe, contra.

5. Referências

(1) http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/Official_Problem_Description.pdf
(2) http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_mechanics