Fundamentos da matemática e a mente humana

Teoria dos conjuntos

No final do século XIX o desenvolvimento da analise de um lado levou a noção intuitiva de conjunto que foi desenvolvida por Cantor de maneira subentendida nos seus estudos sobre o infinito e a descoberta de números transfinitos (infinitos maiores que a infinitude dos números naturais), de outro lado Peano havia conseguido reduzir as leis da aritmética básica e a serie dos números naturais a 5 axiomas simples (sistema que ficou conhecido como PA, Peano Arithmetic), por ultimo o nascimento da lógica simbólica e a redução da noção de numero a sentenças logicas foi excecutada por Frege. No começo do século XX havia uma forte tendência de com a noção de conjuntos e com o simbolismo lógico axiomatizar toda a matemática e organizar os seus fundamentos, principalmente para solucionar os vários paradoxos que estavam emergindo quando se fazia uso da noção intuitiva de conjunto (como o paradoxo de Russell). Em 1905 Zermelo publicou a primeira tentativa de listar os axiomas fundamentais da matemática e nos 30 anos que se seguiram ele recebeu inúmeras criticas e contribuições, para em 1934 publicar de novo seu sistema axiomatizado, que ficou conhecido como ZFC. Desde que foi demonstrada a impossibilidade de se provar a hipótese do continuo dentro desse sistema axiomático – a hipótese de que entre a infinitude dos naturais e dos reais não existe nenhuma infinitude intermediaria, ou ainda em outros termos, a hipótese de que a operação de sucessor e a de conjunto potencia resultam no mesmo aumento de cardinalidade nos transfinitos – foi reconhecido a necessidade de novos axiomas bem como axiomas novos para se trabalhar com cardinais muito grandes – maiores que a infinitude dos naturais – mas apesar disso esses axiomas são até hoje aceitos como os axiomas padrões para se provar qualquer teorema matemático. Fora o axioma da escolha, a maioria dos axiomas é bem intuitivo. O primeiro é o axioma da extencionalidade que diz que se x pertence ao conjunto A só e somente se pertence a B, então o conjunto A é idêntico ao B (se x pertence a A tem como conseqüência ele pertencer a B, então A está contido em B). O segundo axioma é o do esquema da separação, que diz que dada uma propriedade Φ é possível separar os elementos de um conjunto A segundo o critério de atender ou não a propriedade Φ, em outro conjunto B. (Se o axioma for que dada uma propriedade Φ estará sempre associado um conjunto A, o paradoxo de Russell emerge). Em seguida tem o axioma da pareação, que diz que existe um conjunto A ao qual pertence um z, e esse z pode ser igual a x, ou a y, ele é o par (x,y). O axioma da soma que diz que existe um conjunto C tal que x pertence a C só e somente se x pertencer a B e B pertencer a A. O axioma do conjunto potencia que acerca a existência de um conjunto B tal que C pertence a B se e somente se for um subconjunto de A. O axioma da Regularidade que diz que se o conjunto A não for nulo então existe um x tal que x pertence a A e para todo y pertence a x, ele não pertence a A (isso quer dizer que um conjunto não contem como elementos os elementos dos seus elementos). O axioma da infinitude que acerca a existencia de um conjunto A em que 0 pertencendo a A e para todo conjunto B que pertencer a A, B união com o conjunto que contem B também pertence a A. O axioma esquema da substituição que diz que se para todo x,y,z, com x pertencendo a A e valendo a propriedade φ(x,y) e φ(x,z) e y for igual a z, então existe um conjunto B e y pertence a tal conjunto se e somente se existe um x que pertence a A e satisfaz φ(x,y). Por fim, o axioma da escolha, que pode ser enunciado de varias maneiras. A forma mais detalhada que eu conheço diz que seja um conjunto A com vários subconjuntos, existe uma função gama que escolhe ao menos 1 elemento de cada subconjunto de A e forma um outro conjunto, com esse elementos chamado conjunto-escolha. No limite se a função escolher todos os elementos de cada subconjunto o conjunto escolha é o próprio conjunto A, e como se usou uma função especifica para escolher esses elementos, isso significa que esse conjunto terá uma ordem, o que implica no teorema da bem ordenança que diz que todo conjunto pode ser bem ordenado.

Se denotarmos φ(x) como uma propriedade qualquer, tal como x é primo; ¬ como o simbolo da negação, tal que ¬φ(x) denote a negação da propriedade φ; x como para todo o x, de forma que x φ(x) denote, para todo x, a propriedade φ(x) vale; x como, existe ao menos um x, tal que x φ(x) existe ao menos um x que atende a propriedade φ(x); x X como x é um elemento do conjunto X; A B como A pertence ao conjunto B; p → q, como se p então q; ↔ como se e somente se; como ‘e’, de modo que p q é verdade se e somente se p for verdade e q for verdade e finalmente como ‘ou’, de modo que p q é verdade se p for verdade, ou se q for verdade.(Para uma definição mais rigorosa dos conectivos, ver nota: ) Os axiomas enunciados com o simbolismo lógico podem ser assim resumidos:


Axioma da extencionalidade:

x(x A ↔ x B) → A = B

Axioma esquema da separação:

Bx(x B ↔ (x A φ(x)))

Axioma da pareação:

Az(z A ↔ (z = x z = y)

Axioma da soma:

Cx(x C ↔ B(x B B A))

Axioma do conjunto potencia:

BC(C B ↔ C A)

Axioma da regularidade:

A ≠ 0 → x[x A ∧∀y(y x → y A)]

Axioma da infinitude:

A[0 A B(B A → B{B} A)]

Axioma esquema da substituição:

xyz((x A φ(x,y) φ(x,z)) → y = z) → By(y B ↔ x(x A φ(x,y)))

Axioma da escolha:

AfB((B A B ≠ 0) → f(B) B))

Teoremas da Incompletude

A partir desses axiomas é então possível, através das leis de dedução da lógica clássica, obter praticamente todos os teoremas conhecidos da matemática. Kurt Godel provou em 1931 que esse sistema nunca deduziria todas as verdades matemáticas, mais ainda, ele provou que todo sistema que contenha a artimetica básica esta fadado a ser incompleto, no sentindo de que sempre existirão sentenças aritiméticas que são verdades mas não são provadas no sistema. Para uma explicação resumida desse teorema eu cito uma palestra dada pelo matemático Solomon Feferman no Instituto de Estudos Avançados em 2006:



The first incompleteness theorem: If S is a formal system such that

(i) the language of S contains the language of arithmetic,

(ii) S includes PA, and

(iii) S is consistent

then there is an arithmetical sentence A which is true but not provable in S.

Here is an idea of how Gödel proved his incompleteness theorem. He first showed that a large class of relations that he called recursive, and that we now call primitive recursive, can all be defined in the language of arithmetic. Moreover, every numerical instance of a primitive recursive relation is decidable in PA. Similarly for primitive recursive functions. Among the functions that are primitive recursive are exponentiation, factorial, and the prime power representation of any positive integer. He then attached numbers to each symbol in the formal language L of S and, using the product-of-primes representation, attached numbers as codes to each expression E of L, considered as a finite sequence of basic symbols. These are now called the Gödel number of the expression E. In particular, each sentence A of L has a Gödel number. Proofs in S are finite sequences of sentences, and so they too can be given Gödel numbers. He then showed that the property: n is the number of a proof of A in S, written ProofS(n, A), is primitive recursive and so expressible in the language of arithmetic. Hence the sentence(n)ProofS(n, A),written ProvS(A) expresses that A is provable from S. Moreover, if it is true, it is provable in PA. So we can also express directly from this that A is not provable from S, by ¬ProvS(A). Finally, Gödel used an adaptation of what is called the diagonal method to construct a specific sentence, call it D, such that PA proves:

D <-> ¬ProvS(D).

Finally, he showed:

(*) If S is consistent then D is not provable from S.

The argument for (*) is by contradiction: suppose D is provable from S. Then we could actually produce an n which is a number of a proof in S of D, and from that we could prove in PA that “n is the number of a proof of D in S”, from which follows “D is provable in S”. But this last is equivalent in S to ¬D, so S would be inconsistent,contradicting our hypothesis. Finally, the sentence D is true because it is equivalent, in the system of true axioms PA, to the statement that it is unprovable from S.

It should be clear from the preceding that the statement that S is consistent can also be expressed in the language of arithmetic, as ¬ProvS(A¬A), for some specific A (it does not matter which); we write ConS for this. Then we have:

The second incompleteness theorem: If S is a formal system such that

(i) the language of S contains the language of arithmetic,

(ii) S includes PA, and

(iii) S is consistent,

then the consistency of S, ConS is not provable in S.

The way Gödel established this is by formalizing the entire preceding argument for the first incompleteness theorem in Peano Arithmetic. It follows that PA proves the formal expression of (*), i.e. it proves:

(**) ConS ¬ProvS(D).

But by the construction of D, it follows that PA (and hence S) proves

(***) ConS D.

Thus if S proved ConS it would prove D, which we already know to be not the case.

Máquinas de Turing

Na época em que o ZFC foi feito não se tinha ainda um conceito claro do que era um processo dedutivo e se falava numa noção vaga de procedimento finito ou procedimento efetivo que fazia referencia a idéia de algoritmo. Alem disso um dos problemas da matemática da época era a questão da existência de um algoritmo que daria o veredicto de certo ou errado sobre a resposta de qualquer problema matemático, o chamado problema da decisão ou entscheidungsproblem. A resposta que Alan Turing daria a essa questão é que não é possível existir tal procedimento que decidira a verdade de qualquer enunciado matemático, assim como não é possível obter um sistema axiomático que deduza todas as verdades matemáticas. Apesar da noção de algoritmo pairar sobre a matemática desde seu inicio, a formalização dela só ocorreu por volta da década de 30. Ocorreram 3 formalizações, equivalentes, que buscaram captar o conceito intuitivo de algoritmo ou procedimento efetivo: a de Alan Turing em 36, a de Alonso Church no mesmo ano com o lambda-calculus e a de Stephen Kleene e outros com a teoria das funções recursivas. Ambas as 3 tentativas se mostraram formalmente equivalentes e eficazes em capturar o conceito de algoritmo e todas as 3 emergiram de uma certa maneira direta ou indiretamente dos métodos e dos resultados levantados pelo teorema da incompletude de Kurt Godel. Esse texto versa sobre como o teorema da incompletude, enunciado dentro do conceito das maquinas de Turing parece ter certas conseqüências para a filosofia da mente. Turing acreditava que a mente humana funcionava a partir de vários estados mentais discretos que se alteravam conforme o raciocínio prosseguia, ao tentar capturar o raciocínio matemático dos algoritmos em um conceito formal ele concebeu uma maquina que também possuía n estados diferentes que variavam conforme ela lia uma fita com certas informações. Essa fita é dividida em m casas diferentes e em cada casa pode-se ter um traço ou nada (1 ou 0), a maquina possui uma tabela de instruções composta por uma serie finita de quintuplas em que o primeiro elemento é designa o estado da maquina no momento, o segundo o estado da casa em que ela esta lendo no momento, o terceiro se ela deve apagar (0) ou escrever um traço (1) na casa atual, o quarto se ela deve se mover para a esquerda, para a direita ou ficar centrada na casa atual e por fim o quinto para qual estado a casa deve ir. Se os estados forem escritos com números decimais, o estado das casas os números binários (1 para um traço e 0 para nada), a instrução de escrever um traço ou apagar por 1 e 0 respectivamente, se mover para a direita sendo denotado por R, para a esquerda L e ficar centrada C, a seguinte quintupla: 1,0,0,C,0 indica que se a maquina estiver no estado 1 lendo uma casa sem nada, ela deve deixar a casa com nada, continuar nesta casa e ir para o estado 0, que corresponderia ao fim da computação. Uma maquina com tal instrução ira sempre terminar imediatamente se for inserida uma fita em branco. Ela ainda poderia possuir a seguinte instrução: 1,1,1,R,2 que diz que se a maquina estiver no estado 1 e encontrar um traço na fita ela deve deixar aquela casa com o traço se mover para a direita e ir para o estado 2. Uma maquina com a seguinte tabela:

1,0,0,C,0 1,1,1,R,2

2,0,0,R,3 2,1,1,R,9

3,0,1,L,4 3,1,1,R,3

4,0,0,L,5 4,1,1,L,4

5,0,0,L,5 5,1,1,L,6

6,0,0,R,2 6,1,1,R,7

7,0,0,R,8 7,1,0,R,7

8,0,0,R,8 8,1,1,R,3

9,0,1,R,9 9,1,1,L,10

10,0,0,C,0 10,1,0,R,11

11,0,1,C,0 11,1,1,R,11


Ira computar a função f(a) = a + 1, sendo a o numero de traços iniciais na fita. Ela ira dar um espaço entre os traços já existentes e ira escrever a + 1 traços. Muitas outras funções mais complexas podem ser computadas por maquinas de Turing, de fato qualquer procedimento matemático que siga um algoritmo pode ser computado por tais maquinas. Certas computações nunca tem fim, como por exemplo uma maquina de Turing que seja programada para enumerar a serie dos números naturais.

Máquinas de Turing e a mente humana

O objetivo dessa parte do texto é dar bons argumentos de porque podem existir verdades acessíveis a mente humana que não são acessíveis a uma máquina de Turing. Isso foi proposto inicialmente pelo matemático Kurt Gödel no artigo de 1951 intitulado: ‘Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications’ e posteriormente retomado por inúmeros matemáticos e filósofos como J.R. Lucas, Ernest Nagel ou Roger Penrose. Irei reproduzir o argumento dado por Penrose no livro ‘Shadows of the mind’ de 1994 fazendo uso livre do simbolismo lógico previamente apresentado:

Seja a serie de todas as computações aplicadas exclusivamente a n:

s = C1(n), C2(n), C3(n), ….,Cq(n), ….

Defina-se Ξ(x) como: x é uma computação que chega a um fim. Para saber se Cq(n) chega a um fim temos que fazer outra computação A(n,q) que para se e somente se Cq(n) não para:

¬ Ξ[Cq(n)] ↔ Ξ[A(n,q)] ( * )

Consideremos o caso especifico q = n:

¬ Ξ[Cn(n)] ↔ Ξ[A(n,n)]

Mas A(n,n) pertence a serie s, ou seja, é uma certa computação aplicada exclusivamente a n. Assim: A(n,n) = Ck(n). Segue que:

Ξ[A(n,n)] ↔ Ξ[Ck(n)]

Consideremos o caso n = k:

Ξ[A(n,n)] ↔ Ξ[Cn(n)]

Para não contradizer * segue que: ¬{Ξ[Cn(n)]}. No entanto isso não é decidível usando-se A(n,q) – pois ¬ Ξ[A(n,n)] e disto seguiria que Ξ[Cn(n)] – e é uma verdade matemática. Logo existem verdades matemáticas que ultrapassam a apreensão de qualquer máquina de Turing e isso é uma propriedade inerente desse tipo de máquina. Gödel afirma que ou existem problemas matemáticos insolúveis ou “the human mind (even within the realm of pure mathematics) infinitely surpasses the powers of any finite machine”, pois se a mente humana não ultrapassa uma maquina de Turing ela está sujeita as mesmas limitações desta. Um algoritmo de uma máquina de Turing pode ser visto, como ressalta Gödel, como um sistema formal de axiomas.Um sistema axiomático pode ser visto como um computador que gera todas as conseqüências de um determinado conjunto de axiomas. Ao demonstrar que a noção de prova (bem como inumeras outras noção) era recursiva Godel mostrou que havia uma ligação direta entre sistemas axiomáticos e recursividade, recursividade nada mais é que computação. Se um sistema axiomático consegue decidir sobre todas as verdades matemáticas as provando, então o conjunto de verdades matemáticas é decidivel, no sentindo em que existe um procedimento mecânico que decide se uma dada sentença é verdade ou não – se ela pertence ou não ao conjunto de teoremas do sistema. Ora, se uma maquina de Turing não consegue decidir a cerca de todas as verdades matemáticas (i.e.: Ξ[Cn(n)]) então não existe procedimento mecânico que irá decidir a cerca do conjunto de teoremas verdadeiros, logo nenhum sistema axiomático poderia provar todas as verdades matemáticas. Esse mesmo racicionio tem validade se a cadeia for invertida, ou seja o fato de uma máquina de Turing não poder apreender todas as verdades matemática implica no teorema da incompletude, em certo sentido esse fato é apenas uma outra maneira de enunciar tal teorema:

“Let Κ be any class of formulae. We denote with Conseq(Κ) the smallest set of formulae that contains all formulae of Κ and all axioms and is closed under the relation immediate consequence. Κ is called ω-consistent if [there is no formula a with one free variable where we can derive a(n) for all n, but also ¬ n a(n), a contradiction: ω-cons(A) = ¬a [(A ├ a(n))^(A ├ ¬a(n))]] (…)
Theorem VI: For every ω -consistent primitive recursive class Κ of formulae there is a primitive recursive class-sign r such that neither forall(v,r) nor not(forall(v,r)) belongs to Conseq(Κ) (where v is the free variable of r).” (Gödel(1931), On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems)

A diferença é que da forma que eu apresentei antes se está evidenciando uma de suas possiveis conseqüências. É interessante notar que no geral o que está prova faz é mostrar que um algorítimo A(q,n) que decida se algorítimos param falha quando o algoritmo em questão é ele mesmo, em outras palavras substituindo em *:

¬ Ξ[A(n,q)] ↔ Ξ[A(n,q)]

é uma contradição. Para que ω-cons(A(q,n)) seja valida temos que assumir que a finitude ou não da computação A(n,q) é indecidivel. Talvez isso seja de alguma maneira equivalente ao segundo teorema da incompletude que diz:

“For any well-defined system of axioms and rules (…) the proposition stating their consistency (or rather the equivalent number-theoretical proposition) is undemonstrable from these axioms and rules, provided these axioms and rules are consistent and suffice to derive a certain portion of the finitistic arithmetic of integers.” (Gödel(1951), Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications)

Ou seja, a consistência de um sistema é indecidível dentro do próprio sistema.

Citando o artigo de 1951 mais uma vez:

“This requirement for the rules and axioms is equivalent to the requirement that it should be possible to build a finite machine, in the precise sense of a “Turing machine”, which will write down all the consequences of the axioms one after the other. [Ou seja eles estarão fechados sob a relação de conseqüência imediata.] For this reason, the theorem under consideration is equivalent to the fact that there exists no finite procedure for the systematic decision of all diophantine problems of the type specified.”

Solomon Feferman, matemático e editor das obras completas de Gödel, aponta que o autor do artigo citado acreditava que, considerando a matemática enquanto conjunto de verdades demonstráveis- em oposição a matemática enquanto sistema formal consistente -, era possível produzir uma decisão sistemática para todas as equações diofantinas(Conferir:aqui) e que a mente humana superava qualquer máquina finita. Apesar de considerar que as 3 possibilidades da proposição “mente humana supera qualquer maquina finita existem problema diofantinos insolúveis” serem possíveis. As conseqüências de se admitir que a mente humana é uma máquina de Turing são bons argumentos para se acreditar no contrario, pois essas conseqüências são todas relativamente desconfortáveis. Primeiro, admitir essa possibilidade tem conseqüências desconfortáveis para a filosofia da matemática, pois parece apontar para um platonismo. Se existem equações diofantinas absolutamente insolúveis seria estranho afirmar que os objetos matemáticos são criação humana, pois o criador deveria, ao menos em possibilidade, conhecer a criatura. O material do quais são feitos os objetos matemáticos é o puro pensamento e parece impossível que uma criação que é feita de nada mais alem dos pensamentos do criador ser absolutamente impossível de se conhecer por completo. (Godel, 1951) Em segundo, admitir essa possibilidade de que a mente humana é uma máquina de Turing tem conseqüências desagradáveis para a filosofia da mente. Se a mente humana é algorítmica então esse algoritmo nunca poderá ser conhecido de uma forma que consideraríamos hoje como satisfatória, pois ao dizermos que entendemos de fato como um mecanismo funciona nos estaríamos afirmando a sua consistência, mas ai estaríamos fazendo uma afirmação impossível para a mente humana . Poderiamos ainda aceitar um tipo de conhecimento em que nada poderia nunca ser dito sobre a consistencia do que é conhecido o que é algo que raramente  secompatibiliza com a noção que temos de realmente conhecer um mecanismo.(Penrose, 1994)

Conjecturas

O teorema de Godel valida que sistemas formais geram uma certa serie de enunciados que são verdades matemáticas – ou seja, maquinas de Turing são sistemas eficientes de gerar verdades – e ele invalida que exista um único sistema formal que gere todas as verdades – ou seja, uma única maquina de Turing alcançando todas as verdades. Gostaria agora de fazer uma especulação que, portanto não vai estar imbuída do grau de certeza que esse texto teve até aqui, grau esse que o texto derivava de traçar precisamente conclusões de teorias bem estabelecidas e que agora não ira derivar de maneira tão precisa (cabe salientar, no entanto, que a minha apresentação do teorema de Gödel foi extremamente informal e tosca, tendo sido feita por mero acidente do objetivo principal que era explicitar o argumento de Penrose). Extrapolando os domínios da matemática pode-se dizer que isso nos faz chegar à conclusão de que a mente humana pode ser uma máquina composta por varias máquinas de Turing que jamais podem ser consistentes entre si, ou seja, a mente humana é multiconsistente. Ocorre que se pode adotar também a outra postura possível, ela ser regida por um único sistema axiomático em momentos discretos de tempo, mas o exercício do entendimento é justamente de expandir essa consistência; essa posição é enfraquecida pelo fato empírico de que se pode obter muito sucesso prevendo o comportamento de certos módulos cognitivos baseando-se no argumento que a mente é uma máquina de Turing constante – por constante entendo que não expande seu sistema de axiomas – e que se disso segue que é provável que de fato partes da mente trabalhem sob a perspectiva de ter um sistema fixo de axiomas e ser computacional. Dado a ausência de um atual ‘sistema da mente’ me parece provável que ele não exista e na verdade a mente é multiconsistente. Seja a suposição altamente provável de que existe uma unidade no sujeito faço a suposição de que uma das funções da consciência seria então definida em ser o conjunto de enunciados multiconsistêntes que enunciam a consistência de cada sistema (modular ou não) axiomático do cérebro e a busca por um nível mais abstrato de consistência entre os sistemas. Conclui-se ao final que a atitude que alguém deverá ter diante da vida é se preocupar com tornar consistentes dois sistemas não consistentes e assim sucessivamente, dado que na posteridade do ponto de singularidade o estrito poder computacional das maquinas ultrapassara os de um ser humano e todas as conseqüências de um sistema axiomático poderão ser traçadas de uma maneira mais eficiente (quem sabe até posteriormente e num futuro não tão distante, esses sistemas também poderão ser testados empiricamente, conquanto que o teste for definido mecanicamente como de fato muitos testes de teorias físicas bem conhecidas o são) que a qual um ser humano é capaz. Atualmente pode-se dizer que boa parte da humanidade se dedica a tais tarefas que poderão ser realizadas por maquinas, eu não me dou esse luxo. No meu ultimo texto postado aqui proponho minha pirâmide de categorias para organizar o conhecimento humano e digo que não sabemos sobre o vértice. Evitei declarar a existência do vértice para escapar a critica de Nietzsche e, pois não poderia declarar de modo algum que o que o vértice seria teria qualquer correspondência com o real, como conseqüência ele não seria verdadeiro por essa definição. Agora declaro a existência do vértice como mera entidade ontológica necessária ao conhecimento humano, seja ela a atividade de achar consistência. Essa tese seria comum tanto às teses ontológicas predominantes da tradição dialética que rege parte da estética e algum terreno obscuro da moral – i.e.: a tensão contraditória da negação – e também as teses ontológicas matemáticas que regem a física – i.e.: o principio de não contradição. O principio da não contradição e da tensão dialética não são auto-excludentes, só há uma mudança de foco de como proceder frente a conhecimentos que já podem ser certos – excluindo totalmente qualquer rastro de inconsistência – e conhecimentos que ainda não temos nenhuma perspectiva de certeza e determinismo – admitindo certo grau de indeterminismo inconsistência na teoria; a observação de Popper de que a dialética perde sentido se o principio da não contradição é negado em absoluto parece conssoar com esta proposição. (Conferir: O que é Dialética In: Conjecturas e Refutações) Os conhecimentos físicos são os mais certos e bem estabelecidos, logo, como de fato ocorre no conhecimento, temos que fazer o conteúdo se mover dentro da minha pirâmide indo da estética, passando pela moral e chegando finalmente ao reino da física. A pirâmide jamais perderá dimensão, se tornando um plano da moral, ou uma reta da física supondo a vida de entidades conscientes no universo como finita.


Axioma da especificação: B = { x A : S(x) }

Se S(x) = x x

B = { x A ^ x x }

Substituindo x por y e colocando os quantificadores:

y (y B ↔ ( y A ^ y y) (*)

B pertence a si mesmo ?

Ou B B, então por * (B A ^ B B), o que é uma contradição

Ou B B, então por * ( B B ^ B B), o que é uma contradição

Logo se chega necessariamente a uma contradição.

As condições de verdade dos conectivos são assim definidas:

Para uma formula φ, φ é verdadeiro ou é falso. Se φ1 ou φ2 são verdadeiros, φ1 φ2 é verdadeiro, e se φ1 e φ2 são ambos falsos φ1 φ2 é falso. Se φ1 e φ2 são verdadeiros, φ1 φ2 é verdadeiro, e se φ1 ou φ2 são falsos φ1 φ2 é falso Se φ é verdadeiro, ¬φ é falso, e se φ é falso, ¬φ é verdadeiro. Se φ1 for verdadeiro e φ2 for falso, φ1 → φ2 é falso, caso contrario é sempre verdadeiro. Se φ(a), sendo a uma instancia qualquer da variável x (se x representar os números naturais, ‘a’ será um numero natural especifico, ou seja o numero ‘a’ é uma instancia da classe de números x), é verdadeiro para algum a, então ∃x φ(x) é verdadeiro e se φ(x) é falso para toda instancia, então ∃x φ é falso. Se φ(x) é verdadeiro para toda instancia de x, então x φ(x) é verdadeiro, se existe uma instancia qualquer ‘a’ tal que φ(a) é falso, x φ(x) é falso. Uma explicação mais demorada dos conectivos também pode ser obtida aqui: http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_logic_symbols )

4 opiniões sobre “Fundamentos da matemática e a mente humana”

  1. Coloquei uma introdução histórica a alguns conceitos matemáticos trabalhados no meu texto sobre maquinas de Turing e a mente humana. Fiz algumas correções de umas afirmações que ficaram mal colocadas também.

  2. ” Extrapolando os domínios da matemática pode-se dizer que isso nos faz chegar à conclusão de que a mente humana pode ser uma máquina composta por varias máquinas de Turing que jamais podem ser consistentes entre si, ou seja, a mente humana é multiconsistente. Ocorre que se pode adotar também a outra postura possível, ela ser regida por um único sistema axiomático em momentos discretos de tempo, mas o exercício do entendimento é justamente de expandir essa consistência; essa posição é enfraquecida pelo fato empírico de que se pode obter muito sucesso prevendo o comportamento de certos módulos cognitivos baseando-se no argumento que a mente é uma máquina de Turing constante – por constante entendo que não expande seu sistema de axiomas – e que se disso segue que é provável que de fato partes da mente trabalhem sob a perspectiva de ter um sistema fixo de axiomas e ser computacional. Dado a ausência de um atual ‘sistema da mente’ me parece provável que ele não exista e na verdade a mente é multiconsistente. Seja a suposição altamente provável de que existe uma unidade no sujeito faço a suposição de que uma das funções da consciência seria então definida em ser o conjunto de enunciados multiconsistêntes que enunciam a consistência de cada sistema (modular ou não) axiomático do cérebro e a busca por um nível mais abstrato de consistência entre os sistemas. Conclui-se ao final que a atitude que alguém deverá ter diante da vida é se preocupar com tornar consistentes dois sistemas não consistentes e assim sucessivamente, dado que na posteridade do ponto de singularidade o estrito poder computacional das maquinas ultrapassara os de um ser humano e todas as conseqüências de um sistema axiomático poderão ser traçadas de uma maneira mais eficiente (quem sabe até posteriormente e num futuro não tão distante, esses sistemas também poderão ser testados empiricamente, conquanto que o teste for definido mecanicamente como de fato muitos testes de teorias físicas bem conhecidas o são) que a qual um ser humano é capaz. ”

    Esse núcleo é o que há de idéias novas nesse texto, por isso me foco nele.

    A idéia de uma mente multiconsistente, compostas de diversos núcleos que operam como máquinas de turing mas que não são completas entre sí é uma idéia interessante, e merece uma reflexão mais aprofundada. Levanto portanto alguns problemas que vejo nessa visão. Diferentemente de um sistema formal, a mente é aberta, no sentido de estar sempre sendo modificada por fatores ambientais, e portanto tem uma estrutura mutável. Assim sendo, me parece que mesmo que ela fosse uma maquina de turing consistente por alguns segundos, dois minutos depois ela voltaria a ser um sistema físico representacional que apenas aproxima conteúdos semânticos, conforme rege a filosofia de Daniel Dennett. Em outras palavras, o que quero dizer é que se a mente for um grupo de máquinas de turing diferentes que são inconsistentes entre si, isso é o estado físico de qualquer sistema físico de processamento complexo de informação, e não uma particularidade da mente humana. A idéia por trás dessas afirmações do João entretanto me parece mais valiosa, de que existam diversos subsistemas dentro da mente que não precisam ser “consistentes” (latto senso) entre si para que o todo funcione. É compatível com teoria evolutiva, é compatível com neurosciência e ajuda, tal qual modelos como o Multiple Drafts, Celebrity Consciousness e Global Workspace Theory, nos dá uma idéia de como pode ser o funcionamento do cérebro que nos permite processar informação como fazemos. Digo do cérebro porque claramente o texto do João pressupõe um fisicalismo estrito, no qual não existem qualias, ou objetos fenomênicos.

    Quanto a função da consciência ser tornar o sujeito único, isso me soa como adorno aplicado aos neurônios, quando este diz que na nossa sociedade nos tornamos sujeitos de troca e por isso temos de ser super racionais e para isso temos de tornarmo-nos bons trocadores. A necessidade de ser confiável e de ser um bom trocador, pressupostos do bom capitalismo, obrigam o sujeito a cravar-se uma unicidade imensa, tentando ser o mais uno e “consistente” possível. Concordo com Adorno que o Capitalismo promove isso, mas não sei se concordo com João Lourenço e Dennett por exemplo quando dizem que a função da consciência seria algo nesse sentido. A experiência não parece ter um papel particularmente auto-organizante, mas parece, como diz hume, uma seqüência de telas de experiência. Evidente que a função de processos auto-recursivos, de revisão das próprias crenças, e de atualização da informação da experiência com conhecimentos prévios tem esse papel, mas dizer que isso é a função da consciência (mesmo no sentido de Access Consciousness) me parece demasiado far-fetched (exagero). Talvez, para autores de viés puramente fisicalista, a função da mente e a da consciência se mesclem de maneira que permitam fazer esse tipo de juízo, mas me parece que uma vez que aceitemos que a função por exemplo de linearidade do hemisfério esquerdo do cérebro está associada a essa construção do sujeito único, não segue ainda nada sobre os conteúdos da experiência. O lado esquerdo do cérebro realmente parece um revisor e atualizados do que quer que seja em termos de tornar a informação mental consistente, sempre num sentido amplo, que não se liga diretamente a consistência matemática de um sistema formal. Se as bordas da consciência são mais nebulosas para um fisicalista, há razões para se trabalhar sobre hipóteses como essa, mas na opinião desse autor, com Chalmers, as bordas do que chamamos de consciência não estão no domínio do processamento de informação.

  3. Diego,

    Uma maquina de Turing está constantemente sendo alimentada com dados de uma fita enquanto produz outputs nessa mesma fita, portanto não é um sistema físico fechado. Segundo a tese de Church-Turing fisicalista forte todo sistema fisico pode ser equiparado a uma máquina de Turing. Eu não acho que seja possível nem falar de aproximação de conteúdos semânticos uma vez que esses conteúdos não existem. A mente humana seria só uma maquina sintática que tenta reproduzir um certo subgrupo de outputs interessantes da maquina sintática que é o mundo exterior. Eu acho que o aparecimento do individuo e do sujeito se deve a processos evolutivos muito mais anteriores que o capitalismo, saber quem fez o que e de quem é cada coisa parece vital para qualquer sociedade e isso pressupõe ao menos uma noção vaga de sujeito. Segundo o Hofstadter o individuo é só um padrão de informação em loop, esse loop pode constituir justamente o processo de revisão, atualização e checagem de consistência dos vários dados da experiência. Eu não vejo como possa existir experiência na mente (não experiência isolada) sem que disso siga a atitude de comparar essa experiência com outras e etc. Não existe assimilação de experiências sem conectar essa experiência com outras, pois essa é justamente a definição de assimilar uma experiência.

    Abraços

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