Complexidade irredutível

Destoando um pouco dos tópicos usuais daqui, estou postando o meu primeiro post no blog. Que por sinal, publiquei também no meu blog particular.

Muitas pessoas tomam a complexidade e a beleza da natureza como evidências da existência de Deus ou de alguma outra entidade inteligente ou superior. Primeiramente, quero mostrar que existe aí um claro viés de observação: O universo é basicamente uma vasta imensidão de vácuo com umas bolinhas de gás lá e cá e nele a Terra parece ser uma incrível exceção; nosso planeta é um lugar muito especial no universo, não conhecemos nenhum outro tão diversificado em formas e estruturas complexas, assim, precisamos tomar cuidado ao tomar a Terra como referência. Nós vemos tanta complexidade porque o surgimento da vida (e nosso) requer tal complexidade; não poderíamos ter aparecido num lugar típico qualquer para observar a não-complexidade do universo. Já o viés da beleza deve-se simplesmente ao fato de vivermos melhor se admirarmos a natureza do que se não o fizermos; isto é útil a nossa sobrevivência e provavelmente foi selecionado por causa disso. Talvez daqui a milhares de anos as pessoas vejam mais beleza nas paisagens artificias porque isto as tornará mais adaptadas. Não é tanto a beleza da natureza que nos impressiona, quanto nós que impressionamos beleza na natureza.

Descontando-se os viéses, é muito interessante que existam tais formas na natureza e conceber o seu aparecimento espontâneo me pareceu completamente implausível até que conheci sistemas muito simples capazes de gerar grande complexidade. Vou dar alguns exemplos:

Os números primos

Os números naturais são os números que usamos para contar: 0, 1, 2, 3, 4, …
É um teorema bem conhecido que todo número natural maior que um pode ser expresso como a multiplicação de alguns dentre estes números, chamados por isto números primos (primeiros). Na verdade os primos são infinitos, mas são poucos comparados aos naturais. Ou seja, alguns dos naturais (os primos) são suficientes para gerar todos os outros por multiplicação. Veja:
2 é primo
3 é primo
4 = 2*2
5 é primo
6 = 2*3
7 é primo
8 = 2*2*2
9 = 3*3
10 = 2*5

No entanto, embora definir os naturais (zero e sucessor) e os primos (números que têm exatamente dois divisores distintos) seja relativamente simples, a estrutura da seqüência dos números primos é extremamente complicada. É muito difícil de se prever a sequência dos primos sem ter de testar a primalidade de uma montanha de números, e os matemáticos têm tentado compreender as propriedades desta seqüência há mais de 2000 anos. É um grande mistério de onde vem tal complexidade:

Descubra o padrão, entre para a história e tenha o mundo aos seus pés.Riemann menos Pi. Obtido em: http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/ss-a.htm

A regra 110

Stephen Wolfram inventou um sistema muito interessante de codificar certas regras de gerar padrões em fileiras de quadradinhos (autômatos celulares):

A regra 110A regra é a seguinte: começa-se de uma linha de quadradinhos brancos, com exceção de alguns pretos; para cada quadradinho da linha, compara-se ele com seus vizinhos, e pinta-se o quadradinho abaixo de acordo com a regra. Repete-se para cada nova linha formada. Curiosamente, aparecem padrões como estes:

A regra 110

Regra 126Regra 126: Fractal de Sierpinski
Novamente, não me é claro de onde vem esta complexidade, não me parece estar especificada na definição.

O Fractal de Mandelbrot

Benoit Mandelbrot descobriu que se pegarmos um número complexo c=a+bi, elevarmos ao quadrado, somarmos c, elevarmos ao quadrado, somarmos c, e repetirmos isto infinitamente, alguns destes números c vão para infinito (em pelo menos uma de suas partes), e outros não. Se pintarmos de preto num plano de Argand-Gauss, os números que não vão para infinito, encontramos uma estrutura muito interessante, o conjunto de Mandelbrot:

O conjunto de Mandelbrot
Olhar esta estrutura mais de perto só a revela mais e mais complexa. Acho que este é um caso gritante da complexidade surpreendente que quero mostrar.

Enfim, minha intenção era mostrar que sistemas de definição formal simples podem expressar uma complexidade muito maior do que a intuitivamente esperada, e que não devemos ser céticos em relação a isto. Não é tão surpreendente que a mera dinâmica casual possa ter provocado o aparecimento de estruturas tão complexas quando as vistas na Terra, o surpreendente é que dinâmicas simples possam gerar estruturas tão complexas. Qual é a origem desta complexidade?

7 opiniões sobre “Complexidade irredutível”

  1. http://www.bitstorm.org/gameoflife/

    Aqui temos mais um exemplo de exuberante complexidade partindo de uma coisa completamente simples.

    Uma série simples de instruções tal qual a dos quadradinhos que formam padrões, mas nesse caso em todas as direções.

    The Game of Life é mais do que um padrão complexo baseado em regras simples. Ele permite a existência de vida, de replicadores, de entidades constantes. De emissores de Glyders, um dos padrões móveis.

    E essa possibilidade genética levou pessoas a pensarem em como se poderia computar algo utilizando-se um life game. E de fato, sucedeu que era possível simular uma maquina de turing com uma devida soma de quadradinhos e as regras do life game. Ou seja, tudo que pode ser computado por uma maquina de turing também o pode por ele. O que é interessante, apesar de ser um desperdício.

    Mais sobre isso no livro Darwin Dangerous Idea do Dennett.

  2. O fato de essa complexidade ser organizada já não é uma evidencia que por tras dela existe uma lei simples? Complexidades mais caóticas me parecem ter leis mais complexas. Por exemplo, aquele experimento que você tem um pendulo e dai coloca um 2o pendulo grudado no fim do primeiro e procede assim indefinidamente dai faz um pendulo qualquer balançar, eles descrevem uma movimentação bem complexa e ao mesmo tempo caótica, e a lei que descreve esse tipo de movimento também é complexa. Talvez seria ideal diferenciar complexidade de caoticidade. Uma complexidade pode ser organizada de maneira simples, com simetrias simples como em factrais simples ou o exemplo que você deu dos quadradinhos; mas ela pode ser uma complexidade caótica como o exemplo dos pêndulos ou dos números primos. A diferença está justamente em que uma complexidade resulta de uma lei simples e portanto contem simetrias que saltam a vista e a outra resulta de uma lei mais complexa e portanto seu padrão é mais difícil de ser achado.
    Resumindo quero dizer que: a origem da complexidade é a lei simples e isso parece mais intuitivo quando você observa que a complexidade segue uma simetria simples que é reflexo da lei.
    Ah, e obrigado por explicar os pontinhos brilhantes no seu blog, vejo eles de vez em quando e já estava ficando seriamente preucupado achando que era sinal de alguma doença.

  3. Oi João!
    Acho que meus exemplos não o convenceram.

    Se você reparar, a regra 110 que postei tem uma região bastante imprevisível (não acho que seja “caótica”, mas definitivamente não contém simetrias simples, assim como os primos). Talvez eu devesse ter postado a regra 30, que é um exemplo bem mais imprevisível:
    http://mathworld.wolfram.com/Rule30.html

    Portanto, não vejo as simetrias simples que mencionou no caso dos autômatos celulares, e a minha proposta é justamente que complexidade não requer definições complexas.

    Não falei explicitamente de caos, mas também não concordo que sistemas caóticos tenham necessariamente de ter definições mais complexas.

    O fractal de Mandelbrot (que eu considero caótico), ao meu ver, tem uma definição muito simples e uma estrutura muito complexa (o fractal de Sierpinski poderia ser considrado simples em comparação). Veja o vídeo:

    No entanto, não saberia definir nem complexidade, nem caos satisfatoriamente. Eu acho que o senso comum é que a primeira tem a ver com a forma de sistemas com muitas partes interrelacionadas, e o segundo com o comportamento de sistemas que amplificam diferenças entre estados de forma não-linear, isto é, sensíveis às condições iniciais. No entanto, sistemas complexos não-caóticos podem ser “desorganizados” em certo sentido, e sistemas caóticos costumam ter uma forma de organização também (atratores).

    Diego, eu não mencionei o Game of Life pra não me estender demais, mas é bom lembrá-lo! Eu mencionaria também o Wireworld:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Wireworld
    Embora ele não tenha essa complexidade inesperada, é simples e Turing completa também:
    http://www.quinapalus.com/wi-index.html

  4. Citando Leo : ” Eu acho que o senso comum é que a primeira tem a ver com a forma de sistemas com muitas partes interrelacionadas, e o segundo com o comportamento de sistemas que amplificam diferenças entre estados de forma não-linear, isto é, sensíveis às condições iniciais.”

    De onde você tirou essas noções?

    enquanto a primeira me parece de fato muito intuitiva. Não compreendi a outra direito.
    Se um sistema se altera de uma forma que não guarda relação de causa e efeito com suas condições iniciais ele seria mais caótico? é isso? ou seja, caótico como oposto de determinado cronologicamente?

    Se assim for, quando lhe dou um ajuntado de pixels, ou de quaisquer outras formas de disposição estática de informação, como você procederia uma análise de grau de caoticidade? O argumento cronológico, que pressupõe um sistema como algo mutante no tempo, cai por terra, e no entanto somos pleanamente capazes de reconhecer algo como caótico mesmo que atemporal.

    Fica minha dúvida nessa questão.

  5. Diego, acho que estou usando a palavra caos num sentido mais restrito; caos costuma significar ausência de padrão ou organização; caos em matemática designa certos tipos de sistemas dinâmicos (sistemas com uma evolução temporal), nos quais a não-linearidade torna seu comportamento efetivamente imprevisível. Isto é, pequenas diferenças nas variáveis de estado são ampliadas rapidamente pela dinâmica, levando a estados muito diferentes. Como na realidade sempre trabalhamos com precisões limitadas, é efetivamente impossível se prever o comportamento de um sistema caótico em geral.

    No entanto, isto não significa que sistemas caóticos sejam indeterminísticos; um sistema determinístico é um sistema no qual a lei de sucessão temporal determina um único estado futuro possível (não é o caso, por exemplo, dos sistemas envolvendo componentes aleatórios). Existem sistemas caóticos dos dois tipos.

    Curiosamente, sistemas caóticos costumam misturar regularidade e irregularidade (veja o fractal de Mandelbrot, ou a previsão do tempo), o que os deixa num meio termo entre o totalmente regular (constante, periódico), e o totalmente irregular (o aleatório).

    Não conheço a teoria para dizer como estes conceitos são aplicados em contextos não tão óbvios. Este site de onde eu tirei o primeiro gráfico explora um pouco o comportamento caótico dos primos:
    http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/ss-a.htm

    Acho que a caracterização de caos é mais indireta em outros casos, no caso do Mandelbrot, eu diria que ele é caótico porque, embora não veja uma sucessão temporal, ele envolve uma mistura de regularidade e irregularidade (veja o vídeo do zoom) em vários aspectos, e a sua borda é bastante irregular, o que o torna caótico no sentido original, pois nas proximidades da borda, pontos próximos são levados a lugares distintos pelo processo iterativo de elevar ao quadrado e somar (Note que tanto o zoom, quanto processo iterativo permitem relacionar com tempo)… Enfim, não respondi muito claramente sua questão porque realmente não sei, mas acho que dei umas intuições… mas na prática acho que a caracterização é meio por “feeling” mesmo…

  6. Acho que toda a complexidade existente é a única decorrência possível de um número pequeno de condições iniciais básicas, e isso vale também para leis complexas da física, química, etc.

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