Da natureza do conhecimento matematico

Gostaria de trazer para os integrantes desse grupo um debate que tive com um dos meus mais excelentes e brilhantes colegas, o Sr. Diego Caleiro, durante um jantar. Irei apresentar a tese que defendo e esperar que ele se sinta suficientemente incomodado com ela para responder num comentário.

 

Abstrações construídas sob abstrações, uma teoria matemática se forma sobre um objeto puramente matemático, constituindo uma teoria da matemática pura. Dados empíricos sob dados empíricos, se constrói uma teoria física a cerca de um aspecto da natureza. Quase que num aparente milagre essas construções matemáticas vem ajudar as construções físicas e dizem algo a respeito da natureza, algo cujo fato de a evidencia empírica comprovar parece incoerente com a origem meramente abstrata da matemática. A tese aqui defendida versa sobre a natureza do conhecimento matemático e tenta explicar algumas de suas propriedades relacionadas a esse aparente milagre. Em primeiro lugar ela é uma contra-tese a de que todo o conhecimento matemático surgiu como uma metáfora conceitual do mundo natural – e.g.: a aritmética é uma metáfora conceitual para objetos e movimento em um caminho e conjuntos são uma metáfora para coleções de objetos – e as que foram sobrevivendo foram aquelas que melhor ajudaram os seres humanos a lidar com a realidade e fazer previsões certas à cerca dela. Além disso, segundo essa tese a qual me oponho o único canal de entrada de informações a cerca do mundo natural para formar os grandes sistemas da matemática pura foram os sentidos e a observação do mundo exterior. A tese que defendo tentara explicar o porque de fatos como: (1) na física previsões quase que exclusivamente matemáticas a cerca do mundo se provam verdadeiras (e.g.: sinal na equação de Dirac e em geral previsão de novas partículas a partir de dados exclusivamente teóricos que depois se provam existir na realidade) e (2) o fato recorrente de o desenvolvimento matemático puro feito num período em que se acreditava não ter nenhuma utilidade é usado com maestria num período posterior para explicar fatos a cerca do mundo natural (e.g.: números complexos que se desenvolveram no século XVI e foram utilizados na física quântica no século XX e a teoria dos conjuntos que se desenvolveu no inicio do século XX e esta sendo usada hoje na física de partículas). Esta tese pode ser assim expressa: “For one thing, the authors ignore the fact that brains not only observe nature, but also are part of nature. Perhaps the math that brains invent takes the form it does because math had a hand in forming the brains in the first place (through the operation of natural laws in constraining the evolution of life). Furthermore, it’s one thing to fit equations to aspects of reality that are already known. It’s something else for that math to tell of phenomena never previously suspected. When Paul Dirac’s equations describing electrons produced more than one solution, he surmised that nature must possess other particles, now known as antimatter. But scientists did not discover such particles until after Dirac’s math told him they must exist. If math is [puramente] a human invention, nature seems to know what was going to be invented.” (Tom Siegfried) Se depois de todo o desenvolvimento abstrato e independente da realidade de uma teoria da matemática pura essa teoria não só se mostra extremamente útil para o estudo da natureza como prevê fatos inesperados a cerca dessa natureza que depois se comprovam a tese da matemática como metáfora conceitual não me parece suficiente. Ao meu ver é necessário admitir que o próprio modo como surge o pensamento matemático no nosso cérebro é determinado pelas leis naturais e, portanto as teorias abstratas que emergem desse processo são determinadas por essas leis naturais, logo não é fato inexplicável para quem aceita essa tese que as teorias matemáticas parecem antecipar a realidade. Na verdade quem faz essa interpretação que defendo evita cair no absurdo de dizer que a matemática antecipa a realidade – a própria matemática é produto dessa realidade por isso não antecipa nada -, absurdo esse que quem rejeita essa tese cai invariavelmente, a não ser que queira defender o absurdo maior ainda de que as porcas metáforas conceituais que geraram o conhecimento matemático a fazem antecipar a realidade.

 

Durante a discussão com o Sr. Caleiro um aspecto da tese que defendo se tornou relevante. Seja U a totalidade da natureza e Teoria u o conjunto mínimo de enunciados que descreve e explica esse universo, U’ a parte da natureza a qual temos acesso agora e Teoria u’ o conjunto mínimo de enunciados que descreve e explica U’ (seja ela hipoteticamente a teoria da gravitação quântica). Por descreve e explica entendo que esses enunciados descrevam os elementos e façam previsões à cerca do universo que tratam. Podemos dizer que o universo N é o universo descrito pela física newtoniana, o universo Q o descrito pela física quântica, universo R o descrito pela relatividade geral. Fica obvio que N é subconjunto de R e Q, estes são disjuntos e U’ contem R e Q. A tese que defendo afirma que como todos os nosso processos cognitivos e a própria formação do nosso cérebro foram regidos pela Teoria u não é surpresa que a matemática pura consiga expandir dentro de U essas teorias que explicam apenas um subconjunto de U. Nesse ponto da discussão o Sr. Caleiro levantou a questão de que somos evolutivamente selecionados para olhar apenas para um certa parte do universo, a parte que aumenta a taxa de sobrevivência, assim sendo pode ser que nessa pequena fração do universo valha uma Teoria λ que não seja um caso especial da Teoria u. Conseqüentemente as expansões dessa Teoria λ não podem ser geradas por uma matemática que emergiu num mundo regido pela Teoria u pois o universo que ela descreve é algo como uma ilusão provocada por como somos evolutivamente selecionados para olhar parcelas especificas do universo U. Considero isso um absurdo pois, seja qual for a parcela especifica que olharmos do universo U ela será sempre uma parcela do universo U e a Teoria λ sempre um caso especial da Teoria u. Por favor, meu caro colega que me corrija caso não tenha sido isso o que ele disse. Fora isso espero dele ansiosamente a mais entusiasmada resposta.

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40 Respostas

  1. Comentei com um amigo que estava escrevendo sobre o assunto de antecipações teóricas e matemáticas da realidade física e ele acrescentou os seguintes exemplos: “o desvio da luz ao passar por uma estrela (Einstein); a expansão do universo (Friedmann); radiação cósmica de fundo (Gamow e Alpher); o píon (Yukawa); o bóson Z_0 (massa e a mistura com o fóton) (Weinberg e Salam); o quark charmed (Glashow). Deve ser fácil encontrar informações sobre esses exemplos. Uma área da física inteira que entra nesse critério foi a computação quântica, que foi desenvolvida teoricamente muito antes de poder ser realizada na prática.”

    Abraços

  2. Para tornar meu ponto claro, quero falar sobre dois lugares do mundo (portanto governados pelas leis de u), num experimento filosófico. Ou intuition Pump.
    Bohr, terra dos gohirim
    Jenur, terra dos Kalahas.

    Em bohr, há muitos milhões de anos, os ancestrais dos gohirim moram no alto das montanhas, onde há pouco oxigênio. Por isso, quando começaram a se utilizar de ferramentas e desenvolver linguagem, os gohirim, que são primatas sociais muito parecidos com os hominídeos, tiveram de abandonar a função anterior do cerebelo (relativa a controle sensório-motor e precisão de moviementos) e sofreram uma exaptação, que tornou o cerebelo uma parte que cumpre as funções que nos humanos são cumpridas pelas áras de Wernicke e Broca, ou seja, a linguagem.

    Jenur, ao nível do mar, sofreu pressões que, de uma perspectiva social, eram muito semelhantes, que também originaram o surgimento do uso de ferramentas e da fala, no entanto, em Jenur, a abundância de alimentos e proximidade do nível do mar permitiu que os Kalahas desenvolvessem uma nova área do cérebro só para isso.

    Os Kalahas e os Gohirim já haviam há muito encontrado documentos no idioma dos outros, e sabiam traduzir o idioma do outro povo, no entanto, uma barreira que se acreditava intransponível separava os dois povos. O advento da tecnologia permitiu eventualmente que dois cientistas, um de cada povo, apelidados de Ká e Go se encontrassem, num momento esperado há centenas de anos pelos povos.

    Como dois bons nerds físicos, ao se encontrarem, puseram-se a discutir a natureza do universo.
    Apresentaram as teorias físicas as quais tinham chegado seus povos. E havia uma série de incompatibilidades.

    Ká (sem saber disso) apresentava uma teoria Y que era subconjunto da teoria u, porque suas percepções auxiliadas pelo cerebelo permitiam perceber uma série de nuances do mundo “invisíveis” para Go.

    Go, no entanto, apresentava uma teoria V, que ia além da teoria u (ou seja, não era compatível com u) mas que no entanto dava conta de tudo aquilo que os gohirim são capazes de detectar com seu aparato neural.

    V e Y eram incompatíveis entre sí, e previam uma série de coisas de maneira diferente. No entanto, essas diferenças só eram perceptíveis para Ka, e Go considerava as duas teorias equivalentes, não vendo nenhuma diferença entre elas, no entanto, à seus olhos, os enunciados de V eram mais siples, e Go, um Ockhamista ferrenho, defendia que deveriam ser adotadas em nome da simplicidade.

    Os cientistas gohirim não conseguiram entender porque os kalahas descreviam o mundo de maneira tão complexa, e mesmo após leituras e explicações dos grandes papers dos journals on physics Kalahas e conferências, ainda lhes era um incômodo o mundo da perspectiva Kalaha, que eles julgavam como falsa.

    O desenvolvimento técnico não permitiu que as nuances que os kalahas podiam ver fossem detectáveis pelos Gohirim, eles simplesmente eram cegos aquelas particularidades.

    Chegou um dia no entanto em que desenvolveram-se em Jenur, terra dos Kalahas técnicas de fusão Gohirim-Máquina, e Go e Ka, os mais importantes cientistas da história, foram colocados mais uma vez frente a frente. Go, no entanto, estava com um chip instalado no cérebro que cumpria a função cerebelar. E pela primeira vez na história, um Gohirim compreendeu a teoria Y.

    No instante em que Go saiu da sala (que ficava em Jenur, território Kalahas) e voltou para Bohr, um bio-terrorista ativou um sistema de bombas em cadeia que destruiu Jenur e todos os seus habitantes para sempre, junto com as tecnicas de fusão Gohirim máquina, que dependiam de conhecimento da teoria Y.

    Go tentou por muitos anos transcrever para algo compreensível aos seus companheiros a natureza da teoria Y, sempre esbarrando em algum problema. Finalmente tentou recriar uma técnica de fusão para implantar um chip como o dele em outro gohirim. Mas quando finalmente começou a fazê-lo, era considerado um louco, suas idéias consideradas insanas. Eventualmente Go morreu, e a teoria V continua sendo defendida, até os dias de hoje, por toda a eminente e aristocrática classe científica dos Gohirim.

    Moral da história: O universo não quer conhecer a si mesmo.

    Essa história nos mostra que é possível que, mesmo que um universo seja governado por uma série de leis, não necessariamente uma pressão seletiva age para que tenhamos um aparato cognitivo capaz de compreendê-las. As pressões seletivas se importam com outras coisas, e não com a descoberta de leis e tecnicas para descobrir leis. É evidente que é importante conhecer parcialmente informações do mundo ao nosso redor, mas a partir de um certo ponto isso pode gerar um custo benefício negativo. Para os Gohirim, ter a capacidade de compreender a teoria Y teria-lhes custado a vida em seu passado evolutivo, e por isso não podem fazê-lo hoje.
    Os Gohirim e os Kalahas no entanto eram feitos da mesma matéria, governados pelas mesmas leis u e descendentes de um ancestral comum.

    As leis que regem a matemática podem sim ser uma boa descrição do universo. Mas não é o caso que por serem feitas de universo, ou seja, por serem feitas de coisas que atendem as propriedades u, elas necessariamente tendam a descobrir as propriedades u. Não sabemos, e potencialmente nunca descobriremos, se somos Gohirim ou se somos Kalahas, e se somos Gohirim, a natureza de nossos objetos matemáticos, sua ontologia, e seu lugar de origem, podem assentar-se sobre pressões evolutivas particulares que não tem muito a ver com as leis u.

    A proximidade lógica dos Gohirim e do Kalahas também nos atenta para o quanto não é improvável que nossa ciência esteja nos guiando para um universo diferente daquele no qual vivemos. Eles vivem em ambientes parecidos, sobrevivem numa mesma sala, tem um ancestral comum e são feitos da mesma matéria prima.
    Imagine agora que nada disso precisava ocorrer quando pensamos em nós. Não sabemos se seria possível que um ser que descobrisse leis que são um subconjunto das leis que regem o mundo tivesse ancestrais em comum conosco. Sequer sabemos se tal ser poderia ser instanciado em carbono. Talvez apenas seres com mais de 5 metros, ou com mais de 1% da constituição de Magnésio sejam capazes de compreender teorias que são um subconjunto de u.

    Nunca saberemos se os objetos matemáticos existem, ou se são uma invenção evolutiva para nós. O transhumanismo, no entanto, diminuirá consideravelmente a chance de estarmos iludidos. Para nosso infortúnio, por não sabermos a chance atual, não temos como descobrir para quanto nossa incerteza será reduzida.

    Abraço João.

  3. Caro Diego,

    Seu erro consiste na crença de que a evolução ou a consciência consistem em um reino a parte da natureza e que, portanto de algum modo místico que ainda não estou certo pode contrariar essa natureza. A sua historinha se baseia num encadeamento lógico muito delicado e tem como ponto crucial a seguinte passagem: “Go, no entanto, apresentava uma teoria V, que ia além da teoria u (ou seja, não era compatível com u), mas que, no entanto dava conta de tudo aquilo que os gohirim são capazes de detectar com seu aparato neural”.
    Seja qual forem os fenômenos aos quais os gohirim foram expostos, seja lá que parte do cérebro os gohirim não tenham, seja lá que drogas pesadas eles usam constantemente o que eles detectam com seu tosco aparato cognitivo são eventos que ocorrem no universo U, e se a teoria V da “conta de tudo aquilo que os gohirim são capazes de detectar com seu aparato neural” ela é um caso especial da Teoria u. Dizer que uma teoria descreve qualquer coisa que não está em U é afirmar que existe algo para alem desse universo U, no seu caso seria o universo da consciência. Mas é característico justamente desse universo conter todos as coisas, sejam elas os delírios dialéticos da consciência sejam elas um pendulo em MHS.

  4. Fiquei sem entender muito o que foi escrito! Penso que a matemática é uma abstração humana já que ela só existe como tal nos humanos. Ela é uma maneira de pensar, de medir, como as quantidades se comportam no mundo. As quantidades em si se comportam assim pelas “leis da física”. As leis da física em si sofrem de algo similar à matemática. São abstrações e maneiras de pensar e prever o que acontece no mundo. O que acontece no mundo em si é produto de forças e coisas (por falta de uma palavra melhor), que se comportam de uma certa forma sem a compreensão que são as leis da física.

    O fato de a matemática e as leis da física serem bastante eficazes em prever a realidade não diz algo além de que são abstrações bastante acertadas, talvez acertadas por definição. No caso da matemática, é uma teoria sempre correta, desde que suas premissas sejam cumpridas. Ela é correta se cumprir o pressuposto de estimar, de medir corretamente as quantidades, que ela delimita por números.

    As leis da física são uma parte muito científica da ciência, são modos de compreender o mundo muito corretos e empíricos, mas no seu horizonte, as leis da física são sujeitas a erro, a controvérsia, a incompatibilidades internas, etc. As leis da física aí são um produto incompleto da teorização humana. São um desenho delineado da realidade, ainda incompleto, que só existe como tal no mundo humano, uma maneira humana de compreender aquilo que se comporta sem compreensão ou intencionalidade.

  5. Talvez também a matemática seja ao menos em grande parte simples tautologia. 1 + 1 = 2, sendo que 2 é 1 + 1 por definição.

  6. Jonatas,

    Diga exatamente que parte você não entendeu que irei esclarecer. A matemática não é uma maneira de prever nada a cerca do mundo e nem é exclusivamente dedutiva. Fora isso você só falou coisas obvias que acho que qualquer um aceitaria mas que não decidem nada no tópico da discussão.

  7. “Go, no entanto, apresentava uma teoria V, que ia além da teoria u (ou seja, não era compatível com u), mas que, no entanto dava conta de tudo aquilo que os gohirim são capazes de detectar com seu aparato neural”.

    Ok, você diz que isso é impossível, I will make my case for it.

    Suponhamos que um daltônico autista (de onde será que tirei uma idéia como essa?) tenha acesso ao longo de toda a sua vida só à um laboratório de física razoavelmente simples, e a internet (mas que ninguém jamais postou sobre daltonismo na net). Ele cria uma série de teorias a respeito do mundo, todas elas absolutamente ignorantes da diferenciação entre certos tons de verde e certos tons de vermelho. E em suas teorias se diz serem aquelas duas apenas uma cor (o que é incompatível com u).
    No entanto ela dá conta muito bem obrigado de todos os fenômenos conhecidos por ele. As far as he is concerned, ela é a Teoria M.

    Se fosse impossível para ele criar aparatos técnicos mais sofisticados (que por exemplo o fizessem perceber que outras espécies tem respostas diferenciadas ao que ele considera a mesma cor) ele ficaria para sempre se achando o descobridor da grande teoria.

    Se fores lançar a objeção de que sempre aparelhos mais sofisticados podem ser criados, bastarme-ia adicionar algum detalhe, como que o corpo dele é de um material que não tem densidade o suficiente para manipular ferramentas, ou que o problema dele, ao invés do daltonismo, é uma falta de percepção num nível que requereria um acelerador de partículas do tamanho de 5 sistemas solares para ser testado etc etc etc….

    Abraço

  8. Diego,

    Acredito que não tenha percebido ainda que do jeito que as coisas foram definidas o Sr. simplesmente não pode descrever nenhuma situação que fuja a minha linha de argumentação. Aconselho-te a brigar com as definições então.

    Um daltônico experimentando a realidade é um fenômeno em U, uma Teoria d que explique o universo D (com D pertence a U) de um daltônico é um caso especial da Teoria u. Do jeito que foi construído posso sempre dizer: x é um fenômeno em U, a teoria que da conta de x é caso especial da Teoria u, seja lá o que for que você vá falar porque ∀x(x pertence a U) (i.e.: seja U o universo de von Neumann, aconselho também a não tentar refutar por teoria dos conjuntos). Essa é uma das vantagens de ter criado um bom encadeamento teórico.

  9. João

    “uma Teoria d que explique o universo D (com D pertence a U) de um daltônico é um caso especial da Teoria u”

    Concordo.

    No entanto a teoria M do meu daltônico não é um caso de D. Da forma como você colocou D é um argumento que pode ser preenchido por qualquer teoria que seja um caso especial de u. Não é o caso em questão. Ou seja, o universo que ela descreve não pertence a u. Não é caso especial de u. Em verdade, é incompatível com u.

    As percepções de um indivíduo não são casos especias do mundo físico no qual ele vive. Ex(x pertence a u) é fato, porque é possível que as percepções e teorias de um indivíduo particular sejam um caso particular da teoria u. No entanto pode ocorrer igualmente que essas teorias expliquem e prevejam tudo o que ele vê sem necessariamente serem um reflexo, projeção, mapa, ou descrição matemática do mundo no qual de fato vive.

  10. * Onde se lê argumento, leia-se variável.

  11. Acho que não entendi qual o tópico em discussão. Seria algo por exemplo como uma teoria física newtoniana ser válida como um subconjunto de uma teoria perfeita do universo?

  12. O João acha que o nosso “acesso” aos objetos matemáticos, o fato de que eles são inteligíveis (graspable) pelas nossas mentes, se deve ao fato de sermos feitos de matéria física operando pelas leis do universo. Eu acho que não.

  13. Ele acha portanto que o desenvolvimento do conhecimento tenderia para uma precisão maior da nossa inteligibilidade dos objetos matemáticos (e teorias físicas nas quais eles operam). Eu acho que não.

  14. “No entanto a teoria M do meu daltônico não é um caso de D. Da forma como você colocou D é um argumento que pode ser preenchido por qualquer teoria que seja um caso especial de u. Não é o caso em questão. Ou seja, o universo que ela descreve não pertence a u. Não é caso especial de u. Em verdade, é incompatível com u. (…)
    As percepções de um indivíduo não são casos especias do mundo físico no qual ele vive. ”
    Isso viola a definição de universo.
    Sem mais.
    (essa sua ultima frase que citei está realmente absurda!)

  15. Olá pessoas, andei meio ausente por distrações mundanas mais importantes heheh.

    João, espero não estar perdendo a questão principal, mas acho que o que o Diego está dizendo é simplesmente que as teorias formuladas por seres vivos, devido à evolução destes, não precisam necessariamente prever os mesmos fenômenos que a teoria-perfeita-do-tudo; basta que coincidam no limitado conjunto de fenômenos observáveis ou passíveis de experimentação por estes. Por esta razão, nossa matemática não precisa ter um compromisso sério com a forma das leis da teoria-perfeita-do-tudo, e não há realmente razões para isto. Tanto é que nossas teorias físicas são todas inconsistentes com a totalidade dos fenômenos observados, e nenhuma teoria matemática atual até o momento parece ser capaz de satisfazê-la.
    É por isso que criamos o modelo heliocentrista, e mais uma porção de teorias erradas, e a geometria euclidiana e mais uma porção de teorias matemáticas sem correspondência física direta.

    Desta forma nossa matemática não seria algum tipo de consequência direta de nosso aparelho cognitivo ter se formado sob as leis matemáticas desta física.

    Na minha teoria pessoal do assunto, a matemática é o resultado de um processo de descrição formal (regras bem determinadas, “mecânicas”, independentes de interpretação operando sobre símbolos), e de abstração (independência de realização concreta, isolamento de propriedades formais) sobre o comportamento de um sistema qualquer, que pode ser o formato dos objetos, o modo como interagem no tempo, ou qualquer outro que nosso aparelho cognitivo seja capaz de identificar alguma regularidade, inclusive o comportamento dos símbolos de teorias matemáticas prévias. A reunião destas duas coisas gera sistemas formais, com propriedades formais próprias, e que podem ser tratados independentemente do contexto que os inspirou, e se o formalismo for válido (lógica e axiomas), a correspondência com ele deve valer.

    Se a matemática serve, ou não, para descrevermos bem a realidade física isto dependerá de qual a capacidade descritiva que alcançamos com a nossa matemática, e qual o grau de regularidade do universo que nos foi possível encontrar até o momento. Aparentemente estamos sendo bem sucedidos, pois conseguimos encontrar regularidades em muitos lugares onde investigamos, embora questões como problema de vários corpos, e turbulência pareçam estar insuficientemente cobertas pelo nosso desenvolvimento matemático.

    Gostaria de salientar que acho que tanto a capacidade de formular representações formais de regularidades externas (uma espécie de capacidade linguística-computacional) e a de reconhecer regularidades são parte do nosso aparelho cognitivo, que provavelmetne se desenvolveram por razões adaptativas.

  16. Caro Rend,

    “mas acho que o que o Diego está dizendo é simplesmente que as teorias formuladas por seres vivos, devido à evolução destes, não precisam necessariamente prever os mesmos fenômenos que a teoria-perfeita-do-tudo; basta que coincidam no limitado conjunto de fenômenos observáveis ou passíveis de experimentação por estes”

    Concordo, mas se elas coincidem no limitado conjunto de fenômenos observáveis ou passíveis de experimentação elas descrevem um subconjunto de U e portanto são um caso especial da Teoria u.
    Se uma teoria descreve algo ela descreve um subconjunto de U, caso contrario ela não descreve nada e não é uma teoria, isso segue fácil da definição de U.

    Abraços

  17. Desculpe, não havia lido com atenção o que escreveu.

    “A tese que defendo afirma que como todos os nosso processos cognitivos e a própria formação do nosso cérebro foram regidos pela Teoria u não é surpresa que a matemática pura consiga expandir dentro de U essas teorias que explicam apenas um subconjunto de U”

    Mas se U inclui todas as teorias, essa afirmação não é vazia?

    P.S.: Gostaria que explicitasse melhor qual é a sua afirmação e talvez algum exemplo ilustrativo.

  18. U inclui todas as coisas, incluindo as configurações quânticas que produzem qualquer teoria em nossos cérebros. A teoria u por sua vez não contem todas as teorias, mas todas as teorias são um caso especial de u.
    A afirmação de que o universo existe não me parece vazia e sim um pressuposto ontológico necessário. Eu não vejo como dar exemplos que o universo existe, me parece no minimo um axioma imprescindível.
    PS: coisas mundanas nunca são mais importantes

  19. Esta discussão está com alguns problemas de comunicação.
    Quis dizer para explicitar melhor sua tese geral, em relação à matemática. E também defina o conceito que está usando de teoria.

    Obs: E coisas mundanas são mais importantes se estas dependem delas…

  20. A matemática, alem de ser sujeita e restrita pelas leis da evolução é produto de processos cognitivos cujas leis são em ultima instancia as leis do universo, logo elas estão embebidas dessa lei e logo a expressam parcialmente de uma certa maneira. Isso explica os fatos (1) e (2) do meu texto. Negar isso não explica esses fatos e recai em absurdo na tentativa.

  21. Ok, tá foda ser claro. Vou ser tão claro quanto posso.

    Antes de ser claro, como também sou humano, vou introjetar prazer em forma de crítica.

    Isso viola a definição de universo.
    João Lourenço
    The method of “postulating” what we want has many advantages; they are the same as the advantages of theft over honest toil
    (João, por favor não responda essa crítica falando dos novos paradigmas da lógica e bla bla bla, esse não é o assunto do post)

    Bem, à clareza:
    Definições

    Teoria: Conjunto de informações descritivas que prevêem (bem ou mal) o comportamento de um sistema físico, ou uma meta-extensão de um sistema físico (como um sistema formal, e.g. Matemática)

    Leis u: Conjunto das leis que regem o universo (as próprias leis, e não a informação sobre elas)

    Teoria u: A teoria que melhor descreve, na linguagem de um ser X, as leis u.

    Teoria F (de Fraca): A teoria que melhor descreve as tentativas de X de expressar em sua linguagem a percepção do mundo que X têm. Ou seja, a teoria considerada como a melhor para os X.

    UniFict (X) : O universo fictício de X, sua construção mental sobre suas percepções. Seu universo intensional. (Note que UniFict (x) é um conjunto de informações e não de estados da matéria)

    Teses do João

    1 Para todo X, se X é instanciado na matéria regida pelas Leis u, qualquer teoria formulada por X será um caso especial da Teoria u.

    2 Ao longo do desenvolvimento, evolutivo e cultural dos X, o conhecimento dos X se aproxima gradualmente da Teoria u, partindo da Teoria F. Ou seja, o conhecimento é progressivo.

    3 Os objetos matemáticos, e demais leis (formais ou não) são parte da teoria u

    4 A razão pela qual X é capaz de compreender os objetos matemáticos e demais formalizações se deve ao fato de X ser regido pelas leis u. E ser regido pelas leis u concede acesso privilegiado e inevitável a teoria u.

    É notável facilmente que, se demonstrar-se que 4 é falso, as justificativas de 1 2 e 3 caem por terra. Por que não haveria razões para que acreditássemos que existe uma conexão necessária entre ser regido pelas leis u e ser capaz de apreender a teoria u (e seus casos especiais).
    Ou seja, cabe-nos investigar então se a razão apontada em 4 é uma razão boa para se supor essa conexão.

    Lembremo-nos: 4 A razão pela qual X é capaz de compreender os objetos matemáticos e demais formalizações se deve ao fato de X ser regido pelas leis u. E ser regido pelas leis u concede acesso privilegiado e inevitável a teoria u.

    Essa crença (chamo-a de crença porque na falta de justificativa o João a chamou de Definição, e já vimos que o trabalho honesto tem precedência sobre o roubo…) a meu ver repousa num erro grave. A suposição de que a matéria de alguma coisa é a mesma coisa que a informação dessa coisa. Se matéria e informação fossem a mesma coisa, o meu cérebro e as informações que ele processa seriam o mesmo, um CD seria o mesmo que a música que contém.
    Não é o caso.
    Se não é o caso, então uma Teoria u nunca seria um caso especial das Leis u. Mas ainda é possível que uma Teoria F fosse sempre um caso especial da Teoria u.

    No entanto, Teorias são informação, e essa informação é causada por outra informação, o UniFict (x). As teorias de X não são embasadas na realidade, mas nas informações sendo processadas por seu cerebro. Essas informações dispõe um universo intensional (Brentano, Dennett e Putnam, para mais sobre isso) que é fictício, sobre o qual assentam as crenças, desejos e demais aspectos informacionais de X. A Teoria F é um aspecto informacional, logo ela é descoberta não a partir da Teoria u, mas da UniFict (teoria u), a teoria que melhor descreve o universo intensional de X.

    Segue que não haja uma conexão necessária entre a matéria na qual X é instanciado e as teorias que X pode formular, ou as noções primitivas de X (como a noção dos objetos matemáticos).

    Isso segue pela diferenciação entre matéria e informação, similar a distinção aristotélica entre matéria e forma.

    Para não deixar dúvidas, disponho mais um Intuition Pump:

    Temos computadores capazes de simular a realidade newtoniana, e capazes de simular a realidade quantica. Seja o universo quântico como se supõe, como explicar que algo instanciado nele faça uma simulação newtoniana? falsa?
    Podemos dispor sobre um computador um algorítmo turing-computable, e ele sairá fazendo previsões, e o equivalente de “teorias” em sua linguagem a respeito do sistema que aquele algorítmo instancia. Temos razões para crer que nem todo algoritmo corresponde as leis do universo, e portanto que é possível simular, ou teorizar, ou processar informação de uma maneira completamente distinta da forma como a matéria na qual somos instanciados se comporta.

    Acho que fui claro no meu ponto.

    Abraços

    Diego

  22. Me inspirando um pouco na tese do João, acho que é possível explicar parcialmente o sucesso da matemática em descrever os fenômenos físicos com a seguinte idéia:

    Parece razoável supor que a existência de seres pensantes dependa de alguma invariância cósmica, isto é, que o surgimento de seres inteligentes só possa ocorrer em universos onde exista alguma estabilidade e regularidade física. Assim sendo, acho que o grande sucesso da matemática em descrever os fenômenos físicos é simplesmente um consequência trivial disso, pois num universo no qual existam regularidades suficientemente simples para que surjam formas de vida capazes de se adaptar a elas, detectá-las e usá-las de maneira útil, parece bastante provável que o mero desenvolvimento da capacidade de processamento destas conduza a possibilidade de se produzir no sistema cognitivo destes modelos computacionais capazes de representar estas regularidades (modelos matemáticos do mundo físico).

    Ou seja, estou dizendo que se um universo é regular o suficiente para que a vida possa surgir e detectar tal regularidade, é bastante provável que esta vida vá criar representações computacionais destas regularidades.

    A capacidade de detectar regularidades posteriormente se desenvolveu muito com o desenvolvimento de aparelhos de medição, representações diversas de dados (como gráficos), e poder computacional artificial.

    Note que isto ainda permite que o universo em questão tenha uma porção de propriedades não-regulares ou fora da capacidade computacional dos seus seres vivos, estas serão provavelmente ignoradas pois passarão despercebidas.

    PS: Não acho que esta explicação seja suficiente para explicar o problema (da natureza do conhecimento matemático), no entanto. Embora os computadores expandam indefinidamente a capacidade de representações computacionais (teorias, modelos matemáticos) para muito além de nossa capacidade cognitiva, estes modelos e teorias parecem ter uma estrutura intrínseca bastante complexa (ver meu post de complexidade irredutível), bastante familiar aos matemáticos. O que determina então a estrutura do conjunto das teorias matemáticas? Esta parece ser uma questão tão difícil que eu chutaria que é uma propriedade do nosso universo. Nosso universo tem uma estrutura física, que determina quais fenômenos físicos ocorrem e uma estrutura computacional, que determina quais sistemas computacionais ocorrem. Mas isto é só um apelo desesperado por não conseguir ver nenhuma outra saída…

  23. Depois de pensar mais um pouco, acho que talvez não seja necessário recorrer a um skyhook tão forte para se explicar a estrutura das teorias matemáticas; acho que a estrutura das teorias matemáticas pode ser pelo menos parcialmente explicada pela estrutura da lógica, do nosso paradigma de computação e do nosso sistema de representação simbólica. Sistemas lógicos diferentes como a lógica intuicionista ou a para-consistente conduzem a diferenças posteriores em definições e teoremas. Da mesma forma, acho que sistemas computacionais diferentes, mais fracos ou mais fortes que a máquina de Turing (autômatos sem memória, computadores analógicos, computadores quânticos) devem levar a diferentes tipos de formalismo. Finalmente, acho possível que nossas teorias possam ser bastante influenciadas pelo modo como as representamos, isto é como sequências finitas de símbolos. Mas não sei se existem sistemas mais gerais ou mais poderosos de representação que poderiam levar a outros tipos de matemática.

    Isto traz a questão de o que por sua vez determinaria a estrutura destes três sistemas que citei; acho que a lógica está bastante fundamentada no modo como processamos a linguagem e a relacionamos com entidades no mundo, e portanto é resultante da relação (sistema cognitivo-mundo); os sistemas de computação eu não sei, mas pelo menos sua implementação real é restrita pelas leis da física, e os sistemas de representação eu acho que são bastante dependentes da nossa capacidade cognitiva de representação simbólica, seja lá o que isso for.

  24. Caro Diego,

    Como diz Aristóteles na Metafísica exigir que tudo tenha demonstração é impossível e recairia em demonstrar infinitamente, logo algumas coisas devem ser postuladas, como você de fato o fez no seu comentário. Devo dizer que discordo de quase tudo o que você disse – inclusive do que você supôs que eu havia dito -, talvez não completamente, mas de forma muito sutil. Se existe algo que caracteriza seu comentário é a completa ausência de clareza e precisão, com a qual embaralhou o meu argumento e evidentemente não foi surpresa quando achou erros nele, já que o senhor mesmo os plantou. A única coisa que meu argumento postula como algo indemonstrável é que existe um universo regido por leis e tudo está contido nesse universo, o resto segue elegantemente deste postulado. Alem disso o senhor recaiu de novo no mesmo erro que já havia apontado: o de achar que a consciência é um reino místico à parte do universo. Para não cair no erro de inventar que o senhor disse algo sem provar que disse, cito seu comentário: “UniFict (X) : O universo fictício de X, sua construção mental sobre suas percepções. Seu universo intensional. (Note que UniFict (x) é um conjunto de informações e não de estados da matéria)” Esse conjunto de informação não é nada mais que um conjunto de estados da matéria, portanto essas construções mentais estão no universo. Assim sendo mesmo que X estivesse delirando e construindo um universo próprio, seja lá que leis que esse universo subjetivo tenha, elas serão leis de um subconjunto do universo e, portanto serão um caso especial da lei do universo. Como se não bastasse mesmo o argumento que o senhor profere contra essas 4 teses que supostamente eu sustento não é valido pois ainda que ¬4 não vejo como isso implica em ¬1. Em acréscimo o senhor falhou em demonstrar ¬4 pois a “informação” que um CD contem – a musica – não passa de um modo como nós experienciamos o estado em que se encontra a matéria no CD através de um computador, assim como os nossos pensamentos não passam de configurações de estado da matéria do nosso aparelho cognitivo – mais uma vez o senhor hipostasia um reino místico que transcende a natureza. A sua fé nesse reino místico se torna particularmente evidente nessa frase: “As teorias de X não são embasadas na realidade, mas nas informações sendo processadas por seu cérebro”, ou seja, o senhor acredita que exista algo para alem da realidade, para alem do mundo físico, para alem da matéria que é onde ficam as “informações sendo processadas por seu cérebro”, Descartes chamou isso de espírito e os medievais de Alma. O atual estado da física não parece dar nenhuma indicação da existência de um espírito ou de uma alma, sendo assim prefiro rejeitar essa idéia.

    Pela terceira ou quarta vez irei expor meu argumento, dessa vez em partes, para que o senhor possa dizer de maneira mais clara e menos embaralhada onde é que discorda dele:
    (I) Tudo está no universo, seja qual for uma teoria que descreve algo ela descreve algo do universo -caso contrario ela não descreveria nada – assim sendo ela descreve um subconjunto desse universo. (II) O universo é regido por uma lei, e assim também o é o seu subconjunto, seja lá que leis especificas esse subconjunto tenha nenhuma delas deve violar a lei do universo. Retomando I, seja lá o que uma teoria que descreve algo descreva, ela descreve algo do universo, logo (III) algo que não viola essa lei do universo, assim essa teoria será um caso especial da lei do universo. Segue-se de I e II que (IV) os processos cognitivos são regidos pelas lei do universo e não constituem um reino mistico a parte dessa lei. (V) Assim sendo o mundo empírico não é a única via de entrada para experienciar como o universo funciona, a própria experiencia do pensamento (i.e.: matemática) pode revelar leis do universo, pois o pensamento mesmo é regido por essas leis. (VI) Admitir que o pensar puro não pode ser uma experiencia que revele as leis do universo não consegue explicar os fatos (1) e (2) do meu texto.

    Abraços.

  25. João,
    (I) Não, embora cientistas e suas teorias (enquanto registros físicos) façam parte do universo, as proposições que propõem podem ou não ser verdadeiras (ocorrer) neste universo. Por exemplo, a os fenômenos e previsões descritos na teoria do flogisto não ocorrem no nosso universo, de forma que se ela descreve um subconjunto deste, creio eu que ele seja vazio (e portanto um subconjunto impróprio).
    Em particular, até onde sei todas as teorias físicas que conhecemos hoje não ocorrem no universo, uma vez que falham em fazer previsões que ocorrem, ou vice-versa.
    Estou entendendo “subconjunto” como uma região do espaço-tempo. Talvez vc esteja usando esta palavra em algum outro sentido mais abstrato que não ficou claro para mim.

    (II) Sim, o universo e qualquer parte dele aparentam ser regidos por leis.

    (III) Não vejo sentido em falar que uma teoria que descreve fenômenos que não ocorrem no universo seja uma teoria que não viola as leis do universo, ou mesmo um caso especial dela.

    (IV) Sim processos cognitivos são regidos pelas leis físicas, que em particular permitem que imaginemos todas as coisas surreais que vemos por aí.

    (V) Creio que as experiências subjetivas possam revelar algo sobre a existência, entretanto, o funcionamento da mente não é dedicado à representação fidedigna de experiências sensoriais, de modo que a mente não só distorce a percepção, como permite a construção de uma porção de representações sem nenhuma correspondência no mundo físico (gnomos, por exemplo). Enquanto a mente parece ser dependente dos fenômenos físicos ocorrendo no nosso cérebro, estas sim, muito bem sujeitas às leis do universo, sua atividade não é direcionada a representar estas leis específicas, pois a maioria delas não é de grande relevância adaptativa. Se está falando de revelações da realidade de “pensamento puro” (a la Descartes), é preciso levar em conta que cada processo de revelação destes está sujeito a todas estas distorções que mencionei.

    (VI) O pensar puro revelador é a única explicação possível para os fatos (1) e (2)? Ainda não vi essa demonstração.

  26. Rend,

    (I) As proposições podem ou não corresponder a algo fora da mente, mas uma vez que elas existem na mente elas existem no universo e no espaço-tempo. A teoria do flogisto explicava um universo bem restrito de fenômenos como aqueles mais evidentes e ingênuos da oxidação de certos materiais. Alem disso ela foi desde sua criação até sua completa rejeição uma teoria “marginal” que nunca foi bem aceita.

    (III) Uma teoria que descreve fenômenos que não ocorrem no universo não descreve nada, pois tudo está no universo.

    (V) Concordo que boa parte das atividades do nosso cérebro não é dirigida a busca de leis e portanto menos ainda a busca das leis universais que governam essa atividade, não disse que isso era uma regra disse que isso corre muitas vezes no caso especifico da matemática.

    (VI) Nenhum dos senhores forneceu até agora uma explicação satisfatória para os fatos e nem eu vi uma, logo ela é até o momento a única explicação.

    Só queria ressaltar mais uma vez que os únicos postulados são I e II e o resto segue como corolário.

  27. João

    Eu sei que você está animado com a lógica atualmente. E portanto está tentado a acreditar que você pode postular algumas coisas, deduzir um sistema delas, e alegar que o sistema é conexo, fechado e bom.

    Mas não é assim que se faz filosofia analítica, em filosofia analítica, começamos pelo meio (ao qual temos acesso) e vamos gradualmente acessando os lugares cuja informação nos é mais difusa, mais mediata.

    Sua insistência decorre de uma forma de olhar para a questão, que não é a forma correta. Não é correta porque a questão é empírica, não é a priori.

    Pois bem, agora vou ressaltar qual é o erro. Então preste atenção nele:

    (III) algo que não viola essa lei do universo, assim essa teoria será um caso especial da lei do universo.

    Isso é falso! Não violar NÃO É SINÔNIMO de ser um caso especial de.

    A teoria ptolomaica do movimento dos céus não é um caso especial da teoria que rege o mundo, é apenas um conjunto de informações, no caso falsas, a respeito do mundo.

    Eu não violo as leis do universo, e tenho um monte de idéias erradas (dentre elas a idéia de que você ainda está disposto a olhar essa questão de uma perspectiva sensata e perceber que sua posição não faz sentido)
    Ou seja, eu tenho teorias falsas, que não dizem respeito ao mundo como ele é, e que estão sendo instanciadas em matéria física do mundo.

    Essas idéias falsas, teorias falsas não são casos especiais da teoria u. Elas são Consequências lógicas das leis de u operando sobre as leis do universo, o que não é ser casos especiais.

    A razão pela qual você continua incutindo em erro é por causa dessa percepção distorcida com a qual comecei meu post. Você está tentando olhar para a questão como um sistema axiomático.

    É fato, para um sistema axiomatico, que um determinado Teorema dentro dele é um caso especial dele. Mas isso segue porque, em sistemas axiomáticos, a forma de verificar a veracidade da proposição ” O Teorema T é um caso especial do sistema S” é verificando se T é uma consequência lógica dos axiomas e regras de inferência de S . Se for, dizemos que sim, T é um caso especial do sistema S, se não for, então não é caso especial.

    NÃO é assim que funciona com teorias, uma teoria ser um caso especial de outra teoria depende de estar contida nela, e não de seguir logicamente do algorítmo da outra rodando

    Ser consequência lógica e ser resultado da instanciação de um programa não são a mesma coisa. E ser um caso especial de algo definitivamente não é ser resultado lógico desse algorítmo rodando.

    Você entendeu o que eu quero dizer. Você sabe que faz sentido. Eu não vou continuar a discussão nesses termos, porque esses termos já estão resolvidos.

    Havendo outras dúvidas, podemos continuar.

    Mas essa questão, está encerrada, insistência será infrutífera.

    Abraço
    Diego

  28. Caro Diego,

    A teoria ptolomaica descreve satisfatoriamente um conjunto de fenômenos, a saber, parte do movimento dos astros no céu. A teoria da gravitação de Newton descreve mais satisfatoriamente ainda um grupo maior de fenômenos e a relatividade geral um numero maior ainda. É claro que a terra não é o centro do sistema solar e que não existem referenciais absolutos, mas ocorre que do mesmo modo que a relatividade é valida para a maior parte dos fenômenos que temos acesso hoje, a teoria ptolomaica era valida para um grupo de fenômenos e a gravitação de Newton também o era. Deste modo certas previsões da relatividade geral, para um numero bem restrito de fenômenos e de forma bem aproximada, concordam até mesmo com o modelo ptolomaico no que tange aos fenômenos que esse modelo dava conta de explicar. Ocorre que o senhor está confundindo ser caso especial de com ser completamente coerente com, o que são coisas diferentes. Como na época o universo de fenômenos era muito mais restrito que hoje em dia se imaginou que aquela era a totalidade do real e logo que aquelas leis valiam universalmente, assim sendo não tem como modelos feitos em épocas diferentes serem coerentes entre si, por mais que um seja um caso especial do outro. Foi dito: “uma teoria ser um caso especial de outra teoria depende de estar contida nela” pois bem, a equação de Schrödinger gera as equações da mecânica newtoniana para dimensões macroscópicas: “… a lei de Newton para o movimento pode ser obtida a partir da equação de Schroedinger, no limite clássico de sistemas macroscópicos. A lei de Newton para o movimento é um caso especial da equação de Schroedinger (Fisica Quantica, Eisberg. p. 240), assim como a gravitação de Newton gera uma descrição do movimento dos astros do céu semelhante ao modelo ptolomaico se nos restringirmos a uma gama especifica de fenômenos, ou seja, uma está contida na outra. Logo pela sua definição, uma é um caso especial da outra. O problema de começar a se dirigir para longe do centro das teorias cientificas bem estabelecidas como o flogisto e a teoria ptotolomaica é que houve uma época em que o homem não diferenciava fenômenos objetivos de subjetivos e algumas de suas teorias misticas descreviam não só uma experiencia objetiva de como o mundo funcionava mas o sentimento subjetivo que acompanhava essa experiencia, sentimento esse que apesar de infinitamente mais difícil de achar leis também faz parte do universo. Alem disso não foi compreendido até agora – sim pasmem! – a estrutura do meu argumento, I e II são os únicos postulados e o resto segue logicamente dai, atacar III não me parece frutífero.

    Diferentemente do senhor, ainda estou aberto a discussões, pois não acredito em dogmas o mesmo tanto que não acredito em alma ou que exista um reino especial para “informações sendo processadas por seu cérebro”. A minha questão está em aberto, pronta para ser falseada, diferentemente da sua que o senhor afirma estar em algum estado de infalsiabilidade. Apesar de tudo devo dizer que não entendo como um encadeamento tão simples de idéias como o meu pode gerar tanta polemica. Para mim parece tudo até obvio demais e discutir sobre certos pontos é mais resultado da teimosia, do preconceito e do orgulho do que do pensamento racional, o que é realmente uma pena. A minha teoria preve e responde a dados empíricos ((1) e (2)) enquanto o senhor nem ao menos uma teoria tem e o máximo que consegue fazer é discutir, mas eu não creio que a discussão verbal seja um bom terreno do exercício da razão. Esse terreno é o mundo empírico por excelência, é com ele que eu “discuto” e até o momento ele parece estar concordando comigo, vejam os fatos (1) e (2) e minha citação do livro de física quântica. Não me surpreende que agora o senhor tenha colocado o seu ponto como indiscutível e como infalseavel, ele sempre o foi, pois nunca disse nada a cerca da nossa realidade sempre tendo que recorrer a mundos imaginários. Se um olhar retrospectivo for lançado por essa discussão se verificara que desde o começo defendo uma única teoria enquanto que boa parte do resto só se prontifica a refutar o que eu sustento – sem antes nem entender bem o que eu sustento -, sempre propondo algo diverso. Fugir de propor um modelo, de postular coisas, e ficar repetitivamente envolvido em atacar um modelo por todos os lados possíveis tem certamente a mesma vantagem que o roubo sob o trabalho honesto.

    Termino citando Imre Lakatos:

    “A honestidade intelectual não consiste em tentar abrir trincheiras ou estabelecer uma posição, comprovando-a – a honestidade inteletual consiste antes na especificação precisa das condições em que um individuo está disposto a desistir da sua posição. Os marxistas e os freudianos convictos recusam-se a especificar tais condições: e é este o cunho de sua desonestidade intelectual. A crença pode ser uma fraqueza biológica lamentavelmente inevitável, a manter sob o controlo da critica: mas a convicção é, para Popper, um crime declarado.” (Lakatos)

    Abraços

  29. Caros amigos,
    A discussão morreu porque ambos somos humanos e temos convicções. Também acho que o Diego erra em rejeitar minha posição sem ter nenhuma outra teoria para explicar os fatos (1) e (2), eu acho que ele deve ter condições de propor uma explicação dele também, de outro modo não rejeitaria tanto a minha, mas ele não fez isso por enquanto.

    O fato é que a discussão morreu, como conseqüência disso proponho que a discussão mude para “Em que sentido uma entidade matemática é um fato?”. Conversando com o Diego após essa discussão no blog me pareceu que ela se encaminha para uma discussão de como uma teoria corresponde ou não com a realidade, como a teoria x da conta de X, correspondência entre x e X, a nossa teoria x se encaminha para X? Então acho que esse é um tópico digno. Se ele quiser inicia-lo, estou disposto.

    Alem disso discuti com o Paralelo esse topico hoje. Ele defende que as entidades matemáticas existem independentes dos nossos desejos, eu digo que não. Eu acho que não pois eu nunca vi um circulo, um quadrado, um numero, etc.. Ele é simplesmente um fato da razão que está la pois foi determinado não só pelo meu desejo subjetivo mas por como a evolução moldou meu cérebro ou seja de alguma forma é a acumulação de desejos e necessidades da raça humana através da historia. Esse é um dos pressupostos da minha teoria exposta no texto, logo se o Paralelo ataca esse ponto ele acaba por dizer indiretamente que minha explicação é uma hipótese desnecessária pois afinal os fatos matemáticos existem na realidade de fato e logo os fatos (1) e (2) se tornam evidentes. Os meus argumentos em favor de que os fatos matemáticos não existem na realidade independente dos seres humanos são: (I) A disciplina matemática, enquanto conjunto de todos os fatos matemáticos, é uma criação humana, logo é altamente provável que os fatos matemáticos também o sejam. (II) As entidades matemáticas parecem não existir fora da matemática no sentido de que não há nenhuma prova empírica e não pode a ver de que elas existam – elas não são falseáveis.(Eu nunca vi uma entidade matemática fora da matemática. Alguem ai já tomou chá com uma omega consistência? Alguem já viu um espaço vetorial no Rn passeando por ai? Ou mesmo o conjunto dos números reais? Ta.. sejamos menos exigentes,um circulo, alguem já viu? Acho que a resposta é não para todos esses casos) (III) A atividade matemática segue leis da logica e a logica é propriedade dos enunciados e não das coisas.

    Abraços

  30. Sobre essa coisa da realidade ou não da matemática, acho que a matemática, no que ela tem de dedutiva, é um jogo de conceitos, uma forma de tautologia, para encontrar um conceito em igualdade com outro. Naquilo que ela não é assim, talvez ela se aproxime de um método, uma técnica, de prever quantidades em geral.

    Parece óbvio que os conceitos em si só existem na nossa mente e são criações nossas. O que eles representam é algo da natureza, porém na natureza não há aquilo que pertence ao conceito em si, duas laranjas não têm na natureza a unidade implicada pelo conceito “2″. Elas são apenas laranja e laranja, não são 1 + 1 e nem 2. Mesmo o conjunto conceitual “laranja” é uma compreensão humana, que pode variar… dependendo da língua utilizada poderia haver uma variação nesse conceito que tivesse uma categoria diferente, um conjunto conceitual denominado X que incluisse “laranjas, tangerinas, bergamotas e maçãs” como uma unidade. Poderia ainda haver noutra linguagem uma falta de conceito para essas frutas como unidade, e apenas conceitos separados para a casca, a polpa e a semente. O que seria então uma laranja (o número 1) para alguém seria uma casca, uma polpa e duas sementes para outra pessoa (número 4).

    É verdade que a natureza física se comporta de acordo com a matemática, mas é porque a matemática foi criada como uma explicação dessa natureza física, não porque a natureza física é um reflexo de uma matemática platônica.

  31. “a matemática foi criada como uma explicação dessa natureza física” Isso só é valido na época em que a matemática surgiu como disciplina e talvez seja valido, em parte, para o calculo diferencial e integral. Acho que depois de Newton a matemática como um todo – e mesmo antes dele em parte – se desenvolveu bem a parte do mundo físico e não é criada como explicação da natureza. Só ressaltei isso porque se o seu enunciado for adotado como verdade, implica que a tese do meu texto é desnecessária.

  32. Foi mal, sou leigo em matemática… estou recém aprendendo cálculo diferencial e integral.

  33. Vou contestar:

    (I) Aqui, cabe fazer uma paródia do que você escreveu, de modo a evidenciar o vazio do argumento. Em vez de matemática, física:

    “A disciplina física, enquanto conjunto de todos os fatos físicos, é uma criação humana, logo é altamente provável que os fatos físicos também o sejam”.

    Isso claramente não é verdade, é apenas mostra que é possível termos uma disciplina que trata de algo exterior à ela: no caso da física, fatos físcos; da matemática, fatos matemáticos.

    (II) Todas as perguntas que você faz (“Alguem ai já tomou chá com uma omega consistência? Alguem já viu um espaço vetorial no Rn passeando por ai?”) teriam sentido, se eu afirmasse que os fatos matemáticos são físicos.

    Você fala que não há “prova empírica” dos fatos matemáticos… Mas por que o dado visual de uma cadeira é mais seguro do que o dado racional de que o círculo tem Pi – 3,14? Não é esse um fato percebido também? Não por algum dos 5 sentidos, mas pela razão. Contudo, não é inventado. É imposto a nós, de fora (de nós), no mesmíssimo sentido em que os dados dos sentidos são impostos.

    (III) Negar meu ponto por que a lógica não é propriedade “das coisas” denuncia, outra vez, sua sensação de que uma coisa só “existe” se for física…

    Mas é preciso distinguir “lógica” e Lógica aqui… Se eu estiver certo, existem fatos lógicas, a Lógica propriamente dita… e existirá a “lógica”, isto é, a nossa disciplina que estuda tais fatos. É preciso ter cuidado nessa distinção.

    Antes, você sugere que “os fatos matemáticos não existem na realidade independente dos seres humanos”… Mas claramente existem… Qualquer animal que enxergue, faz uso de trigonometria para calcular a profundidade do cenário… E note que ele nem é consciente desta matemática (mesmo se for um ser consciente!)… Nós próprios implementamos esta matemática, e decerto muitas outras, sem saber… Nosso cérebro faz isso…

    Os fatos da matemática sem dúvida foram descobertos pelo processo cego da seleção natural, enquanto não havia sequer seres conscientes, que dirá humanos e matemáticos…

  34. Caro Paralelo,
    Seguem minhas replicas numeradas de acordo com o argumento a qual diz respeito:
    (I) Essa sua parodia demonstra o quanto o pensamento por analogias pode ser perigoso, sendo de relativa baixa força lógica e apenas força retórica. Ocorre que na matemática a disciplina matemática se confunde com o fato matemático e o argumento (I) que tracei é valido justamente porque evidencia essa indistinção. Na física, se tem por objeto a natureza logo o objeto e a disciplina não se confundem, assim sendo física e natureza não são a mesma coisa como acontecia na Grécia Antiga.

    (II) Se não vem dos sentidos e é imposto de fora você supõe que existe algo exterior a nós inacessível aos sentidos, mas acessível à razão. Proceder dessa forma leva a suposição de entidades metafísicas, i.e. na idade media chamavam algo inacessível aos sentidos, mas acessível a razão de Deus.

    (III) “Qualquer animal que enxergue, faz uso de trigonometria para calcular a profundidade do cenário” Supor que a pressão evolutiva tenha gerado um mecanismo neurológico de visualizar 3 dimensões e que ele tenha sido herdado de um ancestral comum de qualquer mamífero (se fosse animal isso incluiria esponjas, que nem mecanismo visual tem, mas eu faço a concessão de que para você animal é mamífero) é uma hipótese coerente e muito provável. Se eu aceitasse que um animal possui o mesmo conjunto de memes denominado trigonometria para calcular profundidade que nós humanos temos teria uma honestidade intelectual baixa o suficiente para aceitar que você tomou chá ontem com uma omega consistência, no entanto não é o caso.

    Caros amigos,

    Passo agora a uma discussão mais geral que os contra argumentos do Paralelo fomentaram:
    O Paralelo disse:
    “Os fatos da matemática sem dúvida foram descobertos pelo processo cego da seleção natural, enquanto não havia sequer seres conscientes, que dirá humanos e matemáticos…”
    Vou supor outra coisa, vou supor que o Paralelo’ (o Paralelo’ é o Paralelo num universo paralelo que consegue se expressar melhor) disse: o gene que codifica a área de processamento visual 3-D do cérebro foi de grande sucesso e por isso existe e está ai até hoje. Ele codifica redes neuronais (que não são redes neurais) que tem grande sucesso em prever como interagir com o mundo físico. No entanto ele não codifica o meme matemática, ele codifica um computador que consegue simular muito bem a realidade natural. Ele não codifica de modo algum a trigonometria, um meme que se aproveitou do substrato material da nossa rede neuronal para se reproduzir, e que tem também um enorme sucesso evolutivo. Ocorre que esse meme só conseguiu surgir num cérebro que fosse complexo num nível que só o dos seres humanos podem ser, este por sua vez sofreu essa mesma pressão no sentido de simular da melhor maneira possível a realidade natural. A realidade natural, por sua vez segue a lei u, que é a lei do universo U. Vários memes sofreram essas mesmas pressões, mas correspondem a um universo minúsculo de U enquanto teoria suficiente, talvez eu nem os colocaria no meu conjunto Ψ de teorias. Com a criação de memes que selecionam memes por corresponder ou não a realidade – processo de surgimento esse do qual o meme do método cientifico é o ápice – foi-se selecionando cada vez mais memes verdadeiros. (Acho que um ponto fantástico desse processo se encontra no Hypotheses non fingo de Newton) Depois de um certo tempo se criou um nicho memético que tinha quase todas as características do método cientifico, rigor lógico, honestidade, etc menos o de verificação empírica, esse nicho é a matemática. Agora, como explicar que ela consiga, séculos de isolamento depois, ajudar a prever fatos físicos totalmente inesperados a cerca do mundo? Isso ocorre, pois desde seu surgimento, passando pela pressão evolutiva genética, até a pressão evolutiva memética, ela esteve sujeitas as leis do universo o tempo todo! Logo ela esta embebida dessa lei e por isso pode produzir enunciados verdadeiros a respeito da mesma lei! Alguém poderia objetar que na verdade ela só faz isso, pois ela ainda guarda memes que foram selecionados com a pressão evolutiva de corresponder a realidade, mas acho que essa suposição não me parece correta pois existem uma enormidade de memes na matemática hoje que não tem absolutamente nenhuma relação direta com o mundo empírico. Outra objeção mais plausível é a de que as redes neuronais dos animais foram selecionadas com o critério de computar ou não computar um dado universo Z e um critério de sucesso evolutivo foi quanto melhor os animais conseguiam computar Z (i.e., numa anêmona, Z é conjunto de fenômenos composto pelo o movimento de fechar os tentáculos quando a preza encosta neles, de modo que a preza vá parar na boca do animal) logo em animais como mamíferos já havia uma grande tendencia para somente memes que conseguem ser instanciados em cérebro com grande sucesso de computabilidade do real e mesmo esses memes das leis básicas da lógica primitiva foram selecionados com base no critério de conseguir ou não computar a realidade, logo a lógica é uma teoria φ que da conta de explicar um modo muito peculiar de como o universo Φ é governado e portanto é por isso que quando teorias que usam φ vão ajudar nas previsões que fazemos a cerca do universo U elas tem tanto sucesso. Essa objeção é muito plausível e se ela for correta conforme a matemática se encaminhe para terrenos cada vez mais abstratos e puros que desafiem essas próprias noções lógicas primitivas ela vai perder esse seu poder de previsão. A paraconsistencia – ramo da lógica que rejeita uma conseqüência direta do axioma do principio da não contradição, que faz parte da lógica primitiva – parece ser uma lógica com sucesso para prever certos dados a cerca do mundo, no entanto ainda fica a objeção de que ela jamais nega o principio da não contradição por inteiro. Se essa objeção for verdadeira então as leis da lógica básica (a teoria φ) correspondem a uma relação peculiar de organização do universo e o modo com o qual se comprova isso é justamente o sucesso que temos em prever o mundo valendo-se dessas leis. Essa é uma posição nova daquela proposta no texto, eu tinha pensado algo semelhante quando escrevi, mas não tinha elaborado direito. Irei adicionar ela ao texto do post assim que possível, assim como outras elucubrações feitas na discussão com os integrantes do blog. De qualquer modo disso não segue que as verdades matemáticas existem fora da mente humana, como quer o Paralelo’, pois existem verdades matemáticas que não são domínio da lógica, i.e. i elevado a i. Russell diria que toda a matemática pode ser reduzida a lógica, o que validaria a posição do Paralelo’. No entanto Gödel parece apontar serias limitações do projeto logicista do Russell. Ocorre que não estudei matemática o suficiente para saber se o teorema da incompletude de Gödel diz ou não afinal, se existem verdades matemáticas que não podem, a principio, serem reduzidas a lógica. Ele diz que existem verdades matemáticas que nunca serão captadas por nenhum sistema axiomático como o Principia Mathematica de fato, mas até onde eu sei ele não diz nada sobre em principio. O que ele fez, com certeza, foi abalar o projeto de reduzir a matemática a lógica. A discussão, portanto, continua em aberto e parece que o Paralelo’ pode estar ta certo, de um jeito que o Paralelo não foi capaz de expressar.

    Queria agradecer ao Rend, o Diego e ao Paralelo por ao refutarem tanto minhas suposições fazerem com que eu as repense e as formule de maneira cada vez mais clara e precisa e infelizmente mais extensa. Como disse Adorno na Mínima Moralia, temos que entrar numa discussão com o objetivo de que se demonstre que estamos errados.

    Abraços!

  35. Rend,
    Percebo que esqueci de responder duas objeções suas de modo evidente(existem muitas outras que acredito que ainda não respondi também, espero um dia conseguir isso. Nesse dia minha teoria estará completamente modificada pelas suas objeções e a de outros. No entanto eu espero que suas concepções a cerca do conhecimento matemático também estarão.) A primeira é a objeção que fez nesse ponto:
    “Creio que as experiências subjetivas possam revelar algo sobre a existência, entretanto, o funcionamento da mente não é dedicado à representação fidedigna de experiências sensoriais, de modo que a mente não só distorce a percepção, como permite a construção de uma porção de representações sem nenhuma correspondência no mundo físico (gnomos, por exemplo). Enquanto a mente parece ser dependente dos fenômenos físicos ocorrendo no nosso cérebro, estas sim, muito bem sujeitas às leis do universo”
    Creio que se definirmos o universo como aquilo que inclui também os impulsos neuronais das experiencias subjetivas emocionais aparentemente ‘indizíveis’ (como amor por exemplo) essa distinção se esvai. O seu ponto “como permite a construção de uma porção de representações sem nenhuma correspondência no mundo físico (gnomos, por exemplo)” diz que fazemos ‘teorias’ a cerca dos nossos sentimentos e percepções que são horríveis para representar esses sentimentos, mas o que você está dizendo apenas é que a consciência é realmente muito ruim nesses casos e melhor em outros. Ou seja a consciência do mundo exterior parece ser fácil enquanto que a do interior difícil. Dificuldade essa expressa na dificuldade de definir desde amor até a própria consciência.
    Você também me pediu uma definição de teoria, não lembro se dei, mas tenho uma agora em mente: teoria é todo meme feito para que o cérebro melhor compute o real o prevendo melhor. A propriedade que o meme que melhor compute o real parece ter é o que chamamos de verdade ou que ele corresponda ao real. O meme mais eficiente que checa constantemente se é verdade, ou seja se consegue prever ou não o real, é o método cientifico. O problema é que ele parece ter dado conta de um conjunto de fenômenos que não é igual ao conjunto de fenômenos humanos, mas apenas do maior subconjunto que um meme já conseguiu dar conta.
    Outra coisa, você disse que recorreu a um skyhook quando fez conjecturas baseadas na minha tese. A minha tese recorre a um skyhook? Me parece que isso não costuma ser bom para memeticistas, logo ficaria feliz se ela não recorresse.
    Alem disso queria ressaltar que a minha ‘prova’ não tem muito rigor matemático é somente uma meta linguagem. Vou tentar fazer uma versão melhorada dela em breve.

    A todos com interesse em filosofia da matemática,
    Estava lendo sobre um autor que parece explicar satisfatoriamente o “apoio” da matemática na ontologia e porque apesar desse suposto apoio, a completa aceitação e validação da matemática não implica na completa aceitação e validação de estruturas ontológicas como a aristotélica, ou seja não implica num retorno a Aristóteles. O autor é o Putnam, eis um resumo da teoria dele na wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Hilary_Putnam#Philosophy_of_mathematics .
    Como as entidades ontológicas aristotélicas não são indispensáveis para as teorias cientificas elas devem ser abandonadas, ao contrario de uma entidade como a de conjunto que é usada por exemplo em física das partículas: http://www.springerlink.com/content/unr7753m10567w2h/ ou mesmo na relatividade geral: http://www.springerlink.com/content/xk11130u13360277/ .

    Abraços

  36. Gostei muito da discussão, pelo menos do tema, ainda que tenha dúvidas quanto um ou outro ponto de vista. No entanto acho que interessa bastante o texto de Richard Hamming, grande matemático, intitulado “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics” aonde ela examina exatamente os motivos pelos quais a matemática nos permita fazer previsões corretas sobre o mundo.

    Abraço.
    Alex.

  37. Esse foi um dos textos que me motivou a escrever esse post. Nesse texto ele mais levanta perguntas do que responde.

  38. Existem algumas possíveis explicaçoes para a efetividade da lógica, vao aqui duas quase diametralmente opostas:

    Uma é mesmo a que Jonatas mencionou: que a matemática, por ser tautológica, nao contem informaçao alguma. É uma combinação da posição de Wittgenstein sobre a lógica (que ‘não diz nada’) com o logicismo (que não está completamente morto). Tem mais facilidade em explicar a efetividade da aritmética, já que a analise provavelmente está além de qualquer redução logicista (acho, no entanto, que numeros imaginarios algebraicos, por serem contaveis, sao mais passiveis de logificacao do que a analise, que requer transcendentais). Mas por outro lado a analise pode mesmo ser sintética enquanto a artimética é analitica (explicando-se assim a efetividade das duas, e os espinhos da primeira). Surge aqui um pequeno problema – the paradox of analysis – mas ele tambem existe, mesmo se com menos prominencia, em outras teorias sobre a matematica (cf. tambem http://thesischaos.wikispaces.com/The+Paradox+of+Analysis). [Sobre o teorema de Godel: é inconveniente para o logicismo, mas nao fatal: pode-se dizer, por exemplo, que matematica nao é o que pode ser expresso na linguagem da aritmética de Peano arithmetic (PA), mas o que pode ser provado com os axiomas de PA. De fato, a consistencia de PA, por exemplo, nao é inquestionavelmente uma questao matematica. A impossibilidade de provar a irresolvibilidade de equacoes diofantinas (o 10o prob de Hilbert, que o teorema de Godel e mais um pouco responde negativamente) parece mais dificil de ignorar, mas ainda assim acredito que pode-se dizer que a matematica é somente a prova da >existencia< de raizes de equacoes diofantinas]

    Outra é o holismo de Quine, que parece mais próxima a posição do Diego. A matemática, de acordo com Quine, nao mais corresponde a alguma verdade absoluta do universo que nossas atuais teorias fisicas. A partir da parte do universo ao qual fomos expostos, desenvolvemos uma teoria geral, composta por fisica, matematica, biologia, etc., e que preve futuras observacoes. Essa teoria pode estar errado, em qual caso temos que muda-la, mas nao de um modo definido ("our statements about the external world face the tribunal of sense experience not individually but only as a corporate body."). Costumamos no entanto mudar somente as partes mais periféricas dela (i.e., aquelas que requerem menor reavalicao da teoria inteira). A matematica e a logica sao apenas a parte mais central, o 'core', de nossas crenças, e portanto a parte que mais resiste mudança (tanto que chegamos a cre-las necessarias). Assim, seria como Diego diz:

    "As leis que regem a matemática podem sim ser uma boa descrição do universo. Mas não é o caso que por serem feitas de universo, ou seja, por serem feitas de coisas que atendem as propriedades u, elas necessariamente tendam a descobrir as propriedades u."

    Nao fica, nessa explicacao, respondida por que a matematica é tao efetiva em prever o futuro. Mas, ao equiparar-se a matematica com a ciência, nota-se logo que a questao é simplesmente o problema da induçao de Hume, que existe (para a ciência) mesmo em outras explicaçoes sobre a efetividade da matematica (existe, por exemplo, em seu (1), mesmo se aceitassemos sua opiniao sobre a matematica). Nao ha, assim, mais razao para se surpreender com aplicacoes de numeros imaginarios do que com o levantar do sol amanha.

    Acho, de fato, que seu meio termo (que a matematica nao é puramente lógica, mas ao mesmo tempo, pela forma como se desenvolveu é necessariamente verdade), é insustentavel. Considere a aritmetica modular. Nesse caso, um axioma de Peano (que zero nao é o sucessor de nenhum numero) é falso. Entao a artimetica modular e a aritmetica de Peano nao podem ambas serem verdadeiras. Mas, se a nossa experiencia do universo sempre for finita, nao podemos decidir entre as duas (pois é possivel que um numero maior que qualquer possivelmente experienciavel, ou mesmo imaginavel, seja o antecessor de zero, mas é possivel que nao), nem deixar a questao de lado (pois dai nunca podemos assumir que existe um numero maior que x). Assim, a realidade nao gera, nem pode vir a gerar, a matematica certa.

  39. Oi,

    Estranhamente só recebi hoje no meu email que você comentou aqui faz mais de um mes, desculpa pela demora em responder.

    Um logicismo que aceita o teorema de Godel, aceita que as intuições matemáticas e as suas entidades são em sua essência inacessíveis em sua totalidade ou inexistentes. A primeira opção favorece o platonismo, tópico controverso que está mais a favor do meu argumento do que contra. A segunda opção, favorece certas opiniões filosóficas populares varias décadas atrás, mas que são insustentáveis por inúmeros motivos e de modo algum parecem refletir a atividade do matematico. Alem disso essa segunda opção , até onde sei, é insuficiente para se axiomatizar a matematica. Me corriga se estiver errado por favor, essa ultima informação é um tanto quanto desatualizada, tirei ela de um texto de Godel da decada de 60.

    A matemática não trabalha com os mesmos metodos que as outras ciências. Que o sol sempre irá nascer amanhã já foi acreditado mas foi mostrado ser falso. Os axiomas de euclides são válidos até hoje, mesmo sendo só uma parte da geometria. Não estou afirmando que a matematica é o reino da verdade pura. Estou dizendo que o modo de pensar matemático reflete algo inerente da mente humana, que só poderia ter evoluído nesse grau se tivesse compreendido certos aspectos da ontologia do mundo. Esses aspectos podem ser muito bem a nossa matemática intuitiva que guia a criação dos formalismos e serem também a explicação do sucesso desses formalismos como ferramenta de previsão de dados empiricos, mesmo que relativamente isolados desses dados.

    Quando falei matemática também quis me referir a matemática clássica e bem estabelecida, uma vez que é obvio que teoremas de áreas mais controversas e marginais não tem aplicação freqüente na física (i.e.: a existencia ou não deo zero sharp). A matemática da física do modelo padrão pode ser em sua maioria derivada dos axiomas de Peano que são aceitos quase que universalmente.

    Abraços.

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